$\mathbb Z[\sqrt 3]$ contiene infinitamente muchas unidades

Question

Me piden que muestran que hay infinitamente muchas unidades en el anillo de $\mathbb Z[\sqrt 3]$.

Pero yo no veo una buena aproximación a este, hasta ahora.

Algunos pensamientos: La inversa de a $a+\sqrt3 b$ debe ser dado por $\pm(2 - \sqrt 3 b)$, ya que la norma

$$N: \mathbb Z[\sqrt{3}] \to \mathbb Z, \qquad N(x+\sqrt{3} y) = x^2 - 3y^2$$

es multiplicativo. Así que si $(a+\sqrt{3}b)^{-1}=x+\sqrt 3 y$, luego $$1 = N(1) = N((a+\sqrt{3}b)(x + \sqrt{3}y)) = (a^2 - 3b^2)(x^2 - 3y^2)$$

Por lo tanto debemos tener $\pm 1 = (a^2 - 3b^2) = (a+\sqrt{3}b)(a-\sqrt{3}b)$.

Por lo tanto necesito para demostrar que existen infinitos $a,b$ tal que $a^2 - 3b^2 = \pm 1$.

Aquí no sé cómo proceder.

Tal vez la reescritura como $a = \sqrt{3b^2 \pm 1}$, y ahora está tratando de demostrar que existen infinitos $b$ que $3b^2 \pm 1$ es un cuadrado?

Una sugerencia sería apreciado! =) Gracias.

Answer 1

Un bosquejo. Demuestre que si$(a,b)$ es una solución a la ecuación$x^2 - 3y^2 = 1$, entonces$(2a+3b, a+2b)$ es una solución más grande. Iterar esto infinitamente muchas veces nos da infinitas soluciones.

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Otro enfoque es el siguiente. Supongo que es una variación de la pista de Bill.

Sugerencia: si$u$ es una unidad, entonces$u^n$ es una unidad para todos los enteros$n$.

Answer 2

HINT $\ $ Si el grupo de unidades fuera finito, todas las unidades serían raíces de unidad ($= {\pm 1}\:$ ya que es$\subset \mathbb R$).

Answer 3

Otra sugerencia (equivalente): observe$(2\pm \sqrt{3})^n =a_n \pm \sqrt{3}\,b_n$. Muestre que$a_n \pm \sqrt{3}\,b_n$ es una unidad.