Gavilla de funciones meromórficas en superficies Riemann no compactas

Question

¿Por qué desaparece el primer grupo de cohomología$H^1(X, K)$ de la gavilla de funciones meromórficas en una superficie de Riemann no compacta$X$?

Answer 1

Ya para $H^{1}$, derivado de functor cohomology coincide con Čech cohomology, voy a utilizar el último y mostrar que todos los $\xi \in {\check{H}^{1}}(X,K)$ es cero.

El cohomology de la clase $\xi$ está representado en algunas localmente finito abierto que cubre $\mathcal U =(U_{i})$ por algunos cocycle $(\xi_{ij})$ $\xi_{ij} \in K(U_{ij})$ donde $U_{ij} = U_{i} \cap U_{j}$. Dejando $D$ ser el divisor definido por los polos de todos estos $\xi_{ij}$'s, vemos que en realidad $\xi_{ij} \in {\mathcal{O}_{X,D}}(U_{ij})$.

Sin embargo, ${\check{H}^{1}}(X,\mathcal{O}_{X,D}) = 0$ porque en una no-compacto de superficie de Riemann, la positiva dimensiones cohomology grupos coherente de las poleas son cero (abierto las superficies de Riemann son Stein!).

Por lo tanto, podemos escribir la $(\xi_{ij})$ como el coboundary $\xi_{ij} = \xi_{j}|_{U_{ij}} - \xi_{i}|_{U_{ij}}$ algunos $1$-cochain $(\xi_{i})$$\xi_{i} \in {\mathcal{O}_{X,D}}(U_{i})$. Podemos interpretar a fortiori $(\xi_{i})$ $1$- cochain con $\xi_{i} \in K(U_{i})$ (debido a $\mathcal{O}_{X,D} \subseteq K$), lo que demuestra que $\xi$ es el coboundary de un cochain de $K$ y, por tanto, que su clase es cero en ${\check{H}^{1}}(X,K)$.

Conclusión: ${\check{H}^{1}}(X,K) = 0$.

Una GAGA-tipo de comentario

Si $X_{\text{alg}}$ es la única variedad algebraica subyacente $X$ $K_{\text{rat}}$ su gavilla de funciones racionales, también tenemos ${H^{1}}(X_{\text{alg}},K_{\text{rat}}) = 0$, pero esta vez, la nulidad es trivial debido a que $K_{\text{rat}}$ es un flácido gavilla.