¿Por qué desaparece el primer grupo de cohomología$H^1(X, K)$ de la gavilla de funciones meromórficas en una superficie de Riemann no compacta$X$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Ya para $ H^{1} $, derivado de functor cohomology coincide con Čech cohomology, voy a utilizar el último y mostrar que todos los $ \xi \in {\check{H}^{1}}(X,K) $ es cero.
El cohomology de la clase $ \xi $ está representado en algunas localmente finito abierto que cubre $ \mathcal U =(U_{i}) $ por algunos cocycle $ (\xi_{ij}) $ $ \xi_{ij} \in K(U_{ij}) $ donde $ U_{ij} = U_{i} \cap U_{j} $. Dejando $ D $ ser el divisor definido por los polos de todos estos $ \xi_{ij} $'s, vemos que en realidad $ \xi_{ij} \in {\mathcal{O}_{X,D}}(U_{ij}) $.
Sin embargo, $ {\check{H}^{1}}(X,\mathcal{O}_{X,D}) = 0 $ porque en una no-compacto de superficie de Riemann, la positiva dimensiones cohomology grupos coherente de las poleas son cero (abierto las superficies de Riemann son Stein!).
Por lo tanto, podemos escribir la $ (\xi_{ij}) $ como el coboundary $ \xi_{ij} = \xi_{j}|_{U_{ij}} - \xi_{i}|_{U_{ij}} $ algunos $ 1 $-cochain $ (\xi_{i}) $$ \xi_{i} \in {\mathcal{O}_{X,D}}(U_{i}) $. Podemos interpretar a fortiori $ (\xi_{i}) $ $ 1 $- cochain con $ \xi_{i} \in K(U_{i}) $ (debido a $ \mathcal{O}_{X,D} \subseteq K $), lo que demuestra que $ \xi $ es el coboundary de un cochain de $ K $ y, por tanto, que su clase es cero en $ {\check{H}^{1}}(X,K) $.
Conclusión: $ {\check{H}^{1}}(X,K) = 0 $.
Una GAGA-tipo de comentario
Si $ X_{\text{alg}} $ es la única variedad algebraica subyacente $ X $ $ K_{\text{rat}} $ su gavilla de funciones racionales, también tenemos $ {H^{1}}(X_{\text{alg}},K_{\text{rat}}) = 0 $, pero esta vez, la nulidad es trivial debido a que $ K_{\text{rat}} $ es un flácido gavilla.