Resuelve la ecuación $\tan \theta = 2\sin \theta$.

Question

Resuelve la ecuación $\tan \theta = 2\sin \theta$.

Lo que hice fue reescribirlo en la forma$$\sin \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$ You'll get $$\sin \theta = \sin\ 2 \theta.$ $

¿Cómo se supone que voy a resolver esto cuando tengo$\sin$ en ambos lados? Mi principal problema con este tipo de ecuaciones de 'resolver' es que no sé qué formas debo reescribir también. Por lo general solo a la forma$\sin \theta = n$, pero me pregunto si tener un$\sin$ en ambos lados puede dar como resultado una respuesta también.

Answer 1

INSINUACIÓN:

ps

AGREGADO: Estoy reescribiendo esto en una forma donde usted puede "leer" las soluciones. $$\tan\theta = 2\sin\theta \iff \sin \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \iff \sin\theta(1 - 2\cos\theta)=0$ $ Entonces, en el caso que nos ocupa, tenemos que$$ab = 0\; \iff \;a = 0 \;\text{ or }\; b = 0$$$\sin\theta(1 - 2\cos\theta)=0 $$ $$\iff\sin \theta = 0,\;\text{ or } \; 1 - 2\cos \theta = 0 $$ $ $

Answer 2

Tenga en cuenta que siempre que$\theta$ sea tal que$\cos\theta\ne 0,$ tenga$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},$$ so your problem reduces to finding all $ \ theta$ such that $ \ cos \ theta \ ne 0$ and $$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=2\sin\theta.\tag{$ \ star$}$$ Note that we can rewrite $ (\ star)$ as $$\left(\frac1{\cos\theta}-2\right)\sin\theta=0.\tag{$ \ heartsuit$}$ $ ¿Puedes tomarlo desde allí?

Answer 3

Tenemos la igualdad$$\sin x - \sin y = 2\sin \frac{x - y}{2} \cos\frac{x + y}{2}.$$ Hence, $ \ sin x = \ sin y$ if and only if either $ \ sin \ frac {xy} {2} = 0$ or $ \ cos \ frac {x + y} {2} = 0 $.

En particular, para las soluciones de$\sin\theta = \sin(2\theta)$, sustituya$x=\theta$,$y=2\theta$. Necesitamos$\sin(\theta/2) = 0$ o$\cos(3\theta/2) = 0$. Ahora,$$\sin(\theta/2) = 0 \iff \exists n\in\mathbb{Z},\,\theta/2 = \pi n \iff \exists n,\,\theta = 2\pi n,$$ and $$\cos(3\theta/2) = 0 \iff \exists n,\,3\theta/2 = \frac{\pi}{2}+\pi n \iff \exists n,\,\theta = \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}.$ $ El conjunto de soluciones es por lo tanto

ps

Finalmente, verificamos que$$\left\{2\pi n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}:n\in\mathbb{Z}\right\}.$ no es un subconjunto de nuestro conjunto de soluciones, por lo tanto, el$\frac{\pi}{2}+\mathbb{Z}\pi$ está bien definido.

Answer 4

La ecuación que desea resolver se puede volver a escribir$$\frac{\sin t}{\cos t}=2\sin\theta.$ $

Si$\cos t=0$, entonces no tiene sentido, entonces debemos tener cuidado con tales "soluciones falsas" más adelante.

Si$\sin t=0$, entonces la ecuación ciertamente se cumple.

Supongamos$\sin t\ne 0$.

Luego podemos dividirnos entre eso, obteniendo$\frac 1 {\cos t}=2$ y reorganizando find$\cos t=\frac12$ (para no tener que preocuparnos por soluciones falsas).

Por lo tanto, las soluciones son valores de$t$ para los cuales$\sin t=0$ o$\cos t=1/2$.

Answer 5

Al $\sin\alpha=\sin\beta$, $$ \beta=\alpha+2k\pi \quad(k\in\mathbb{Z}) $$ o $$ \beta=\pi\alpha+2k\pi \quad(k\in\mathbb{Z}). $$ En su caso, esto se convierte en $$ 2\theta=\theta+2k\pi \quad(k\in\mathbb{Z}) $$ es decir, $\theta=2k\pi$, o $$ 2\theta=\pi\theta+2k\pi \quad(k\in\mathbb{Z}) $$ que es $$ \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi \quad(k\in\mathbb{Z}) $$ Para la ecuación original para estar satisfechos, tenemos que asegurarnos de que, dado $k$, $$ \frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi\ne\frac{\pi}{2}+h\pi $$ para cualquier entero $h$. La igualdad significaría $2+4k=3+6h$$6h-4k=1$, que no tiene solución. Por lo tanto, no $k$ tiene que ser excluidos.

En este caso particular, reescribir la ecuación como $\sin\theta(1-2\cos\theta)=0$ es sin duda mejor. En otros casos, tales como $\sin\theta=\sin4\theta$, esto puede ser más práctico.