Las pruebas analíticas del teorema de reordenamiento de Riemann son fáciles de entender, pero no explican por qué la conmutatividad se rompe cuando pasa de sumas finitas a sumas infinitas de números reales. Sospecho que esto involucra la acción del grupo simétrico en conjuntos infinitos versus conjuntos finitos de números reales. Pero, hasta ahora, no he encontrado una prueba que solo use herramientas de la teoría de grupos. ¿Existe tal prueba?
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jmans
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Usted no puede esperar que una puramente grupo teórico de la prueba ya que el resultado es, fundamentalmente, sobre la convergencia. Algunos analítica elemento que es necesario. De hecho no es en absoluto un grupo de teoría de resultado.
Por otra parte, no sé cuál es la prueba de que usted consulte, pero la que yo conozco (y supongo que es básicamente la única prueba (hasta el detalle irrelevante)) explica perfectamente por qué es posible reorganizar los términos de un condicionalmente convergente la serie para obtener cualquier suma deseada. De manera informal, una serie es condicionalmente convergente si converge, pero sus términos positivos suma a a$\infty$, mientras que el negativo de términos de la suma de la a a $-\infty$. Eso significa que usted tiene un ilimitado suministro de trabajar con el indicado en el formulario de la cada vez más pequeño de bits de los números positivos y negativos. Para acercarse a una prescrito suma todo lo que hacemos es empezar a resumir elemento positivo hasta que pase la suma deseada. A continuación, puede agregar elementos negativos hasta que pase la suma deseada. Continuar de esta manera. Usted está garantizado para no quedar atrapado (es decir, agotar todos los términos en la serie original), ya que usted tiene un suministro infinito para trabajar con. Se garantiza la convergencia a la suma deseada desde el infinito provienen cada vez más pequeño de bits.
Primero: conmutatividad de finito de sumas. $\mathbb{R}$ es un campo, y como tal, la adición es conmutativa. Esto significa que para los dos elementos $a,b\in\mathbb{R}$, $a+b=b+a$. Sin embargo, es posible extender este resultado. Considere la posibilidad de $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$, y una permutación $\pi$$\{1,\ldots,n\}$. Luego, por inducción, se puede demostrar fácilmente que
$$ \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n a_{\pi(i)}. $$
Siguiente: infinitas sumas de dinero. Mientras pensamos generalmente en una infinita suma como una "suma" es técnicamente un límite de una secuencia de números reales. En particular, si $a_i\in\mathbb{R}$$i\in\mathbb{N}$, entonces el símbolo
$$ \sum_{i=1}^\infty a_i \qquad\text{is defined as}\qquad \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i $$
suponiendo que el límite existe. Además, desde el límite ignora cualquier finito segmento inicial de una secuencia, tenemos el resultado que
$$ \sum_{i=1}^\infty a_i = \sum_{i=1}^\infty a_{\pi(i)} $$
siempre que $\pi$ es una permutación de $\mathbb{N}$ que corrige todos, pero un número finito de elementos. Usted puede comprobar esto mediante la aplicación de nuestro resultado sobre finito de sumas de ser invariantes bajo reordenamiento.
Por último: Con esto en mente, usted no puede tener un grupo teórico de la prueba de la definición de la integral de reordenamiento del teorema debido a que es un teorema acerca de las infinitas sumas que son objetos de análisis en esencia. En particular, la estructura del grupo de $\mathbb{R}$ (en suma) que no codifican su estructura analítica (integridad).
