Estoy tratando de encontrar una fórmula exacta para lo siguiente:
$\sum\limits_{i=0}^{n}{\binom{2n}{n-i}\frac{2i^2+i}{n+i+1}}$
No creo que esto sea demasiado malo con un cambio de términos, pero sigo atascado.
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Did
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Aquí están algunos pasos para la solución:
- Para deshacerse de los denominadores, el uso de ${2n\choose n-i}\frac1{n+i+1}={2n+1\choose n-i}\frac1{2n+1}$.
- Para simplificar los pasos a venir, utilizar el cambio de variable $k=n-i$, lo ${2n+1\choose n-i}(2i^2+i)={2n+1\choose k}((2n+1)n-(4n-1)k+2k(k-1))$$0\leqslant k\leqslant n$.
- Para calcular los $s_0=\sum\limits_{k=0}^n{2n+1\choose k}$, tenga en cuenta que $2s_0=\sum\limits_{k=0}^{2n+1}{2n+1\choose k}=2^{2n+1}$.
- Para calcular los $s_1=\sum\limits_{k=0}^n{2n+1\choose k}k$, tenga en cuenta que ${2n+1\choose k}k={2n\choose k-1}(2n+1)$ por lo tanto $s_1=(2n+1)t_1$$t_1=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{2n\choose k}$$2t_1+{2n\choose n}=\sum\limits_{k=0}^{2n}{2n\choose k}=2^{2n}$.
- Para calcular los $s_2=\sum\limits_{k=0}^n{2n+1\choose k}k(k-1)$, tenga en cuenta que ${2n+1\choose k}k(k-1)={2n-1\choose k-2}(2n+1)(2n)$ por lo tanto $s_2=(2n+1)2nt_2$$t_2=\sum\limits_{k=0}^{n-2}{2n-1\choose k}$$2t_2+2{2n-1\choose n}=\sum\limits_{k=0}^{2n-1}{2n-1\choose k}=2^{2n-1}$.
Poniendo todos estos juntos los rendimientos que la suma de $S$ que se evalúa es $$ S=ns_0-(4n-1)t_1+4nt_2, $$ es decir, $$ S=n2^{2n}-(4n-1)\tfrac12\left(2^{2n}-\estilo de texto{{2n\elegir n}}\right)+n\left(2^{2n}-4\estilo de texto{{2n-1\elegir n}}\right), $$ y por último, $$ S=\frac12\left(2^{2n}-{2n\elegir n}\right)=2^{2n-1}-{2n-1\elegir n}. $$
Matthew Scouten
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