ejemplo de una función no continua que está abierta y no cerrada

Question

¿Puede ayudarme a encontrar un ejemplo de una función de un subconjunto de$\mathbb{R}^2$ a un subconjunto de$\mathbb{R}^2$ que no sea continuo ni cerrado, sino abierto? y otro que no es continuo sino abierto y cerrado? Solo pude encontrar uno que no sea continuo ni abierto, sino cerrado. Gracias.

Answer 1

Let$$X = \{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\cup\{(x,1/n):x \in \mathbb{R}\text{ and }n\in\mathbb{Z}^+\},$$ and let $$Y = \{(x,n)\in\mathbb{R}^2: n\in \mathbb{N}\},$$ where $ \ mathbb {N}$ is the set of non-negative integers. There's a pretty natural map from $ X$ onto $ Y $ que está abierto y cerrado pero no es continuo; ¿puedes encontrarlo?

Ahora, deje$X = [0,1]$ y defina$f:X\to X$ por $$ f (x) = \begin{cases}2x,&\text{if }0 \le x \le 1/2\\ x,&\text{if }1/2 < x \le 1; \end {cases} $$

$f$ claramente no es continuo, y no es muy difícil mostrar que está abierto pero no cerrado.

Answer 2

La función de $f:(0,1)\times\{0\}\to(0,3/2)\times\{0\}$, definido por $$f(x,0)=\begin{cases}(x,0);&x\in(0,1/2)\\(1/4,0);&x=1/2\\ (x+1/2,0);&x\in(1/2,1)\end{casos}$$ obviamente no es continuo. Asimismo, no se cierra, como $f[(0,1/2]\times\{0\}]=(0,1/2)\times\{0\}$ no está cerrado subconjunto del codominio. Es, sin embargo, abierta, que se puede demostrar por considerar cómo $f$ mapas abierto distintos intervalos dentro de $(0,1)\times\{0\}$.

La función de $g:(0,1)\times\{0\}\to(0,1/2]\times\{0\}$, definido por $$g(x,0)=\begin{cases}(x,0);&x\in(0,1/2]\times\{0\}\\(x-1/2,0);&x\in(1/2,1)\times\{0\}\end{cases}$$ también, obviamente, no es continuo, sino que es abierto y cerrado (apertura pasa a través de la misma como antes, mientras que closedness es algo más molesto).

Cabe mencionar que la apertura y la closedness son bastante dependientes en el codominio. Por ejemplo, la función de $g$ por encima de no ser abierta si la consideramos como una función de $g:(0,1)\times\{0\}\to (0,1)\times\{0\}$, aunque podría decirse que es la misma función.

Answer 3

Denota$I=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2:0\leq x<1\}$ y$\bar{I}=\{(x,0)\in\mathbb{R}^2:0\leq x\leq 1\}$. Defina$f:\bar{I}\to I\cup\{(2,0)\}$,$f(x)=x$ si$x\in I$ y$f(1,0)=(2,0)$. $f$ no es continuo en$(1,0)$ pero es un bijection y abierto y cerrado. Recuerde que una biyección está abierta si está cerrada.

Si hacemos que el codominio de$f$ sea ligeramente mayor de$I\cup\{(2,0)\}$ a$\bar{I}\cup\{(2,0)\}$, entonces la función resultante sigue abierta y no es continua en$(1,0)$, pero ya no está cerrada.