Aproximación integral de la serie de Fourier.

Question

Considere una función de $f$ definido en la recta real. Considerar la restricción de la función en el intervalo de $[-L,L]$ y periódicamente extender la función mediante una serie de Fourier $$f_L(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(k_n)e^{ik_nx}$$ donde $k_n=\pi n/L$ e donde: $\hat{f}(k_n)$ indica que el coeficiente de Fourier. Por lo suficientemente grande $L$, parece plausible que podemos aproximar la serie de Fourier con una integral. En particular, nos vamos a extender $\hat{f}(k_n)$ a los no-valores integrales a través de $$\hat{f}(k)=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f_L(x)\,e^{-ikx}\ dx $$ y escribir la aproximación como $$\tilde{f}_L(x)=\frac{2L}{(2\pi)}\int_{-\infty}^\infty\hat{f}(k)\,e^{ikx}\ dk$$ Para darle un poco de contexto, me encontró por primera vez tales integral aproximaciones al estudio de la cosmología. Parece común en la física para tomar tales aproximaciones donde nos formalmente hacer el reemplazo $$\sum_{n=-\infty}^\infty \longrightarrow \frac{2L}{(2\pi)}\int_{-\infty}^\infty$$ en el límite de un gran $L$, lo que se llama el continuum límite.

Mi pregunta es ¿bajo qué condiciones es una aproximación válida? ¿Qué tipo de suavidad y regularidad de las condiciones debe ser colocado en $f$? ¿Qué tan bien $\tilde{f}$ aproximado $f$ $[-L,L]$ (para suficientemente grande $L$)? ¿Hay algún error de límites?

Answer 1

Yo reclamo que $\tilde f_L$ es de hecho igual a$f$$(-L,L)$, e igual a $0$ fuera de $[-L,L]$.

Para ver esto, escribimos $$ \hat{f}(k) =\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f_L(x)\,e^{-ikx}\ dx =\frac{1}{2L}\int_{-\infty}^\infty \chi_L(x)f(x)\,e^{-ikx}\ dx, $$ donde $$ \chi_L(x) = \begin{cases} 1,&|x|<L,\\ 0,&\textrm{otherwise}, \end{casos} $$ es la función característica del intervalo de $(-L,L)$. Lo sustituimos en la fórmula para $\tilde f_L$, para obtener $$ \tilde f_L(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \chi_L(y)f(y)\,e^{-iky}e^{ikx}\ dy \ dx. $$ Esto es sólo el de Fourier de la inversión de la fórmula para la función de $\chi_Lf$, lo que significa que $\tilde f_L=\chi_Lf$. Posibles supuestos que hacen de esta verdad son muy leves. Por ejemplo, es cierto si $f$ es localmente integrable, es decir, $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$. Bajo este supuesto, por supuesto, la igualdad de $\tilde f_L=\chi_Lf$ debe ser tratada en el $L^1$ sentido.