Continuidad de una función convexa

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje$f:K\rightarrow \mathbb{R} $,$f$ convexo y$K \subseteq \mathbb{R}^n$ convexo. Entonces$f$ es continuo en$K$.

He demostrado el único caso$n=1$, pero para un$n$ arbitrario ??

Answer 1

$K$ no necesita ser convexa, pero debe ser abierto. (De hecho, $K=[0,1]\subset\mathbb R^1$ es convexo y $f\colon K\to \mathbb R$ $f(x)=0$ $0<x<1$ $f(0), f(1)$ positivos arbitrarios es convexa, pero no continua.)

La prueba de $K$ abierto es por inducción sobre $n$, en el caso de $n=0$ ser una tarea trivial.

Deje $x_0\in K$ ser cualquier punto en $K$. Entonces existe $r>0$ de manera tal que el cubo cerrado $$Q=\{x\in\mathbb R^n\mid ||x-x_0||_\infty\le r\}$$ está contenida en $K$. El $2^k$ hyperplanes $H_{i,e}$, $1\le i\le n$, $e\in\{\pm1\}$ dado por $x^{(i)}=x_0^{(i)}+e r$ cada uno puede ser identificado con $\mathbb R^{n-1}$. Por lo tanto la función convexa $f|_{K\cap H_{i,e}}$ es continua y, por tanto, $f$ es limitado en cada una de las $2^n$ compact se enfrenta a $Q\cap H_{i,e}$ haciendo hasta el límite de $\partial Q$$Q$. Deje $M$ ser un límite, es decir, $|f(x)|<M$ todos los $x\in\partial Q$.

Considere la posibilidad de un punto arbitrario $x\in Q\setminus\{x_0\}$. Entonces $$g(t)=x_0+(x-x_0)\cdot t$$ describe la línea a través de $x_0$$x$. Pasa a través de $\partial Q$ $t=t_1=\frac r{||x-x_0||_\infty}\ge 1$ y a las $t=-t_1$. Por lo tanto $h=f\circ g$ es convexa en a $[-t_1,t_1]$ y por lo tanto $$ h(1)\le \frac {h(t_1)+(t_1-1)h(0)}{t_1}$$ y $$ h(0)\le \frac{t_1h(1)+h(-t_1)}{t_1+1}.$$ Resolviendo para $h(1)-h(0)$, nos encontramos con $$ \frac{h(0)-h(t_1)}{t_1}\le h(1)-h(0)\le \frac{h(t_1)-h(0)}{t_1}. $$ El uso de $h(0)=f(x_0)$, $h(1)=f(x)$, $h(-t_1)< M$, $h(t_1)< M$ y $0<\frac1{t_1}=\frac{||x-x_0||_\infty}r\le\frac{|x-x_0|\sqrt n}r$ obtenemos $$|f(x)-f(x_0)|\le \frac {(M+|f(x_0)|)\sqrt n}r\cdot |x-x_0|$$ y, por último, $f$ es continua en a $x_0$: $$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \text{ for all }x\text{ with }|x-x_0|<\delta:=\min\left\{r, \frac{r\varepsilon}{(M+|f(x_0)|)\sqrt n}\right\}.$$