Tensar una resolución de flasheo por un paquete de líneas proporciona una resolución de flasheo

Question

Yo tenía un argumento que me explicó el otro día y yo no acababa de entender uno de los pasos. Aquí está mi mejor reconstrucción:

Deje $\mathscr{F}$ ser un cuasi coherente gavilla, y $\mathscr{L}$ una línea bundle, en algunos esquema de $X$. Considere la posibilidad de un inyectiva, por lo tanto flasque, resolución

$$ 0 \to \mathscr{F} \to \mathcal{J}_0 \to \mathcal{J}_1 \to \cdots$$

Tensoring por $\mathscr{L}$, obtenemos un flasque resolución

$$0 \a \mathscr{F} \otimes \mathscr{L} \\mathcal{J}_0 \otimes \mathscr{L} \\mathcal{J}_1 \otimes \mathscr{L} \a \cdots$$

de $\mathscr{F} \otimes \mathscr{L}$.

Dos preguntas:

1. Es esto correcto como se indica? ¿Cuál es la prueba?
2. ¿Por qué es la hipótesis de que la $\mathscr{L}$ es una línea de paquete necesario?

Answer 1

Línea de paquetes planos. De manera más general, localmente libre módulos son planas, debido a que el plano es una propiedad local y, por supuesto, libre de los módulos son planas. Esto muestra que la secuencia es exacta. El resto se sigue del siguiente Lema (cf. Hartshorne, III.6.6):

Si $F$ es inyectiva y $\mathcal{L}$ es localmente libre, $F \otimes \mathcal{L}$ es inyectiva.

La razón es que el $\hom(-,F \otimes \mathcal{L}) \cong \hom(- \otimes \mathcal{L}^*,F)$ es una composición exacta de la functors, de ahí exacta.

Por el camino, podemos derivar de esta $\mathrm{Ext}^p(F \otimes \mathcal{L},G) \cong \mathrm{Ext}^p(F,\mathcal{L}^* \otimes G)$.