Medida de Lebesgue: muestre que un subconjunto de R es igual a R

Question

Si B es un subconjunto de R tal que
I) B 'tiene Lebesgue medida cero
II) B se cierra bajo adición

Muestre que B = R

este es mi primer curso en teoría de medidas. Solo sé que el subconjunto abierto y abierto no vacío de R es igual a R.

¿Qué tengo de i y ii? ¿Y qué propiedad de R debería usar?

Answer 1

Idea: usando el Teorema de Steinhaus :

Permita que $C$,$D$ sean subconjuntos mensurables de Lebesgue de medida positiva. Entonces, el conjunto $C+D$ contiene un intervalo abierto.

En este caso, (i) implica que$B+B$ contiene un intervalo abierto. Pero por (ii)$B+B\subset B$, entonces$B$ contiene un intervalo abierto$I$. Por (i) otra vez, hay$b_0\in I: -b_0\in B$. Ahora,$I-b_0\subset B$ es un vecindario de 0 y ...

Answer 2

Para cualquier$x$%,$B$ y$B - x = \{b - x : b \in B\}$ tienen una medida completa, así que hay un$y \in B \cap B - x$%. Por lo tanto,$y = z - x$ para algunos$z \in B$. Por lo tanto,$y, z \in B$ y$x = z - y$. Por lo tanto$x \in B$.

Esto evita el teorema de Steinhaus, que muestra que esto también es cierto si$B$ tiene una medida simplemente positiva.