Lie álgebra de un Normalizador

Question

Deje $G$ ser una Mentira grupo y que $\mathfrak{g}$ ser su Mentira algbera. Deje $E$ ser un subespacio de $\mathfrak{g}$. Definir el normalizador de la $E$ $G$ como:

$$ N_{G}(E) = \{ g \in G \;\; | \;\; Ad(g)E = E\}$$

Deje que el normalizador de la $E$ $\mathfrak{g}$ se define como:

$$ \mathfrak{n}_{\mathfrak{g}} = \{ x \in \mathfrak{g} \;\; | \;\; [x,E] \subseteq E \}$$

Entonces me debe mostrar que $N_{G}(E)$ es cerrado y su Mentira álgebra es $\mathfrak{n}_{\mathfrak{g}}$.

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Yo podría demostrar que es cerrado como el adjunto de la representación es continua. Para la Mentira algbera, esto es lo que hice:

Para $x \in L(N_{G}(E))$ (la Mentira de álgebra de $N_{G}(E)$), y $z \in E$, tenemos

$$ [x,z] = ad(x)(z) = \left(\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}e^{ad(tx)}\right)(z) = \left(\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0}Ad(exp_{G}(tx)\right)z$$

donde $e^{x}$ es la matriz de exponenciación y $exp_{G}$ es la Mentira de los grupos exponencial mapa. Ahora sé que $Ad(exp_{G}(tx))z \in E$ por varias definiciones, pero no sé cómo tirar de la $z$ dentro de la derivada.

Creo que, desde el $Ad(exp_{G}(tx)) \in GL_{E}$ ($GL_{E}$ es el subconjunto de a $GL(\mathfrak{g})$ consiste lineal mapas que preservar $E$) para cada $t$, por lo que es su derivado. Sin embargo, no estoy seguro acerca de esto? Podría alguno que me ayude en este particular respecto?

Answer 1

La derivada de $\mathrm{Ad}(\mathrm{exp}_G(tx))$ no $\mathrm{GL}(\mathfrak{g})$, ya que, como usted nota es $\mathrm{ad}(tx)$, que es, en general, no es invertible. Sin embargo, no preservar $E$, lo que es visto, por ejemplo, tirando $z$ dentro de la derivada como usted sugiere:

$$ \left(\frac{d}{dt}\Bigg|_{t=0} \mathrm{Ad}(\mathrm{exp}_G(tx))\right)z = \left(\lim_{t\to 0} \frac{\mathrm{Ad}(\mathrm{exp}_G(tx)) - I}{t} \right)z = \lim_{t\to 0}\frac{\mathrm{Ad}(\mathrm{exp}_G(tx))z - z}{t} = \gamma'(0) $$

Donde $\gamma(t) = \mathrm{Ad}(\mathrm{exp}_G(tx))z$, esto le da a usted que $[x, z] \in E$ desde $\gamma(t) \in E$.

Usted todavía necesita para probar que todo elemento de a $\mathfrak{n}_\mathfrak{g}$ es un elemento de $L(N_G(E))$. Para demostrar que una vez más el uso que $\mathrm{Ad}(\mathrm{exp}_G(tx)) = e^{\mathrm{ad}(tx)}$ y nota que desde $\mathrm{ad}(x)$ preserva $E$ $\mathrm{ad}(tx)$ también lo hace y también se $e^{\mathrm{ad}(tx)}(E) \subset E$, se puede ver esto, por ejemplo, mediante la escritura de la matriz exponencial como una suma infinita. Todo esto le da a ese $\mathrm{exp}_G(tx) \in N_G(E)$ y, por tanto,$x \in L(N_G(E))$.

Espero que esto responda a su pregunta.