Tengo algunos problemas con mi tarea.
Tenemos dos enteros$a$ y$b$ que satisfacen la ecuación$a^b - b^a = 1008$.
Demuestre que$a$ y$b$ tienen el mismo resto cuando se divide entre$1008$.
Respuestas
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Philip Fourie
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¿Sabes que $(x_0)^x$ crece más rápido de lo $x^{x_0}$ al $x,x_0>e$? Estas dos cantidades son iguales al $x=x_0$. Es decir, la función $f$ $f(x,y)=x^y-y^x$ es idéntica $0$ a lo largo de $y=x$. Pero debido a esta diferencia en la tasa de crecimiento, al $x,y>e$,
- $x^y-y^x$ será negativo para $y<x$ (Así que no hay soluciones son posibles con $y<x$.)
- Para $y>x$, $x^y-y^x$ va a ser mucho más grande de lo $0$. En particular, para $x\geq5$, podemos establecer con el cálculo que $x^y-y^x>1008$ al $y$ se supone debe ser un número entero mayor que $x$.
- Habría que examinar $x=4,3,2,1$ por separado.
Ya que esta es la tarea, estoy dejando a cabo el cálculo de los detalles que establecen los artículos 1 y 2.
No creo que esto sea tan fácil. No es verdad si$1008$ es reemplazado por, digamos,$7 = 2^5 - 5^2$ o$28 = 2^6 - 6^2$ o$2800 = 4^6 - 6^4$. Por supuesto, una solución es$a=1009$,$b=1$. No creo que haya soluciones con$a,b\ge 2$, basado en el hecho de que$1008$ no aparece en https://oeis.org/A045575 , pero no sé si hay una prueba de eso.
