Carácter de residuo cuadrático determinado por una forma cuadrática binaria

Question

Deje $F = ax^2 + bxy + cy^2$ ser un binario forma cuadrática $\mathbb{Z}$. Podemos decir $D = b^2 - 4ac$ es el discriminante de $F$. Deje $m$ ser un número entero. Si $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene una solución en $\mathbb{Z}^2$, podemos decir $m$ está representado por $F$.

Mi pregunta ¿Hay alguna otra prueba del siguiente teorema otro que el de Gauss, la prueba original? Desde este teorema es importante, creo que tener pruebas diferentes sería bueno.

También sería agradable si alguien iba a publicar una forma moderna de Gauss de la prueba, debido a que no todo el mundo puede tener un fácil acceso al libro.

Teorema(de Gauss: "Disquisitiones Arithmeticae", art.229) Deje $F = ax^2 + bxy + cy^2$ ser un binario forma cuadrática de discriminante $D$. Supongamos $D$ no es un cuadrado entero. Deje $p$ ser un extraño divisor primo de $D$. Deje $m$ $k$ ser números enteros que no son divisibles por $p$. Supongamos $m$ $k$ están representados por $F$. A continuación,$\left(\frac{m}{p}\right) = \left(\frac{k}{p}\right)$.

Comentario El resultado anterior y esta pregunta sugieren que la repesentations de enteros por una integral binario forma cuadrática puede tener una conexión con la ley de la reciprocidad cuadrática.

Answer 1

(Editado para incorporar material del comentario)

Suponemos que$ax^2+bxy+cy^2=m$, y$p$ es un divisor primo impar del discriminante$D$.

Si$p$ divide$a$, entonces también divide$b$, entonces$cy^2\equiv m\pmod p$, entonces${m\overwithdelims()p}={c\overwithdelims()p}$. Entonces, supongamos que$p$ no divide$a$. Entonces obtenemos$$\displaylines{4a^2x^2+4abxy+4acy^2=4am\cr(2ax+by)^2+(4ac-b^2)y^2=4am\cr(2ax+by)^2\equiv4am\pmod p\cr}$$ and we see that $ {m \ overwithdelims () p} = {a \ overwithdelims () p} $.

Answer 2

La siguiente prueba es básicamente de Gauss.

Permita que$(p, r)$ sea una solución entera de$m = ax^2 + bxy + cy^2$. Permita que$(q, s)$ sea una solución entera de$k = ax^2 + bxy + cy^2$. Dejar $f(px + qy, rx + sy) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 $. Entonces

$A = ap^2 + bpr + cr^2$

$B = 2apq + b(ps + qr) + 2crs$

$C = aq^2 + bqs + cs^2$

Por lo tanto,$A = m$ y$C = k$. Ya que $B^2 - 4AC = D(ps- qr)^2$, $B^2 - 4mk = D(ps- qr)^2$. Por lo tanto,$4mk \equiv B^2$ (mod$D$). En particular,$4mk \equiv B^2$ (mod$p$). Por lo tanto$\left(\frac{4mk}{p}\right) = 1$. Por lo tanto$\left(\frac{mk}{p}\right) = 1$. Por lo tanto,$\left(\frac{m}{p}\right) = \left(\frac{k}{p}\right)$ como se desee.