Series de Fourier de funciones casi periódicas y regularidad

Question

Dejemos que $f$ a $2\pi$ -función periódica representada por su serie de Fourier $\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{ikx}$ . Sabemos que $f$ es suave si tenemos $\displaystyle\lim_{|n|\to +\infty}|c_n|n^k =0$ para todos $k\in\mathbb{N}$ ; si $f$ es $C^k$ tenemos $\displaystyle\lim_{|n|\to +\infty}n^k|c_n|=0$ y si $c_n =o\left(\dfrac 1{|n|^{k+2}}\right)$ entonces $f$ es $c_k$ .

El espacio de funciones casi periódicas es el cierre para la norma uniforme de $\mathrm{Span}\left\{e^{i\lambda x},\lambda\in\mathbb R\right\}$ . Definimos $$a(\lambda,f) := \lim_{T\to +\infty}\dfrac 1{2T}\int_{-T}^Tf(t)e^{-i\lambda t}dt$$ y si ponemos $C:=\left\{\lambda\in\mathbb{R},a(\lambda,f)\neq 0\right\}$ entonces $C$ es como máximo contable y podemos asociar una serie $\displaystyle\sum_{\lambda\in C}a(\lambda,f)e^{i\lambda t}$ . Los números $a(\lambda,f)$ son los coeficientes de Fourier de $f$ y $\lambda\in C$ los exponentes de Fourier.

La pregunta es: ¿existen algunas propiedades de los coeficientes y exponentes de Fourier que nos permitan "leer" la regularidad de una función casi periódica?

Answer 1

Lo que tal vez sea más útil es pensar en cómo se prueban esas implicaciones de diferenciabilidad/decadencia en el caso periódico o de la transformada de Fourier. (Piénsalo un poco aquí. ¿Listo?)

Supongamos que su función es $C^k$ . Entonces tenemos que $f^{(k)}$ está uniformemente acotada. Lo que significa que $a(\lambda, f^{(k)})$ está uniformemente acotado. Pero usando eso $a(\lambda, f^{(k)}) = (i\lambda)^k a(\lambda,f)$ , ves que tienes

$$ \sup_{\lambda \in C} |\lambda^k a(\lambda,f)| < \infty $$

se desprende de $f$ ser $C^k$ . En general esto es lo mejor que se puede pedir, teniendo en cuenta el caso que $f = \exp ix $ . En el caso de las funciones periódicas se puede hacer una mejor, en la que $ \lim_{n\to \infty} |n^k c_n| = 0$ es porque tienes el lema de Riemann-Lebesgue. Para definiciones adecuadas de casi periodicidad, se puede obtener algo similar: si se supone que la función derivada $f^{(k)}$ es casi periódica en el sentido de Besicovich, entonces tendrá sumabilidad de $\lambda^k a(\lambda,f)$ lo que implicará, en particular, que

$$ \lim_{n\to \infty} \sup_{\lambda \in C, |\lambda| > n} |\lambda^k a(\lambda,f)| = 0$$

Para el sentido inverso, puedes conseguir algo similar. Si sabes que $f$ se da como una suma convergente de $\sum a(\lambda,f)e^{i\lambda x}$ se ve que inmediatamente, la sumabilidad de

$$ \sum_{\lambda\in C} |\lambda^k a(\lambda,f)| = S_k < \infty $$

implica que el $k$ derivada de $f$ está uniformemente acotado, y que $f$ es al menos $C^{k-1}$ . Además, si $\sup_{\lambda\in C} |\lambda| < \Lambda < \infty$ , tienes que tu función $f^{(k)}$ es continua de Lipschitz con constante $S_k\Lambda$ . Por lo tanto, esto implica en realidad que utilizando, además, lo siguiente

$$ S_{n,k} := \sum_{\lambda \in C, |\lambda| > n} |\lambda^k a(\lambda,f)| $$

con

$$ \lim_{n \to \infty} S_{n,k} = 0 $$

que $f$ es $C^k$ . (Para $\epsilon$ , elija $N$ lo suficientemente grande como para que $3S_{N,k}< \epsilon$ y, a continuación, elija $\delta$ tal que $3\delta N S_k < \epsilon$ . A continuación, haz una división de frecuencias altas y bajas para demostrar que $|f(x) - f(y)| \leq |x-y| N S_k + 2 S_{N,k}$ .) Por tanto, no basta con una condición de decaimiento de la frecuencia: se necesita sumabilidad. (En el caso de las funciones periódicas, como hay un espacio mínimo entre las frecuencias, las condiciones de decaimiento pueden traducirse directamente en sumabilidad).