Ecuación funcional$f(x)=f(\sqrt{x})$

Question

Si tomamos una ecuación$f(x)=f(\sqrt{x})$ definida como positiva$x$, entonces es bastante fácil ver que es constante; $f(x)=f(0)$ si continua en cero.

Mi pregunta es: ¿Qué pasaría si tomamos$f$ para tener una discontinuidad en cero? ¿Simplemente obtenemos una función constante en todas partes excepto en cero, o la respuesta cambia por completo?

Answer 1

Si no necesita continuidad en$1$, puede definirlo de la siguiente manera.

Dada cualquier función periódica$h(x)$, de modo que$h(x)=h(x+1)$. Luego defina para$x>1$:

ps

Defina$$f(x)=h(\log_2\log_2 x)$ si$f(x)=f(1/x)$.

Entonces$x<1$ $

(En realidad podría usar dos funciones periódicas,$$f(\sqrt x) = h(\log_2 (1/2 \log_2 x))=h(-1 + \log_2\log_2 x) = h(\log_2\log_2 x) = f(x)$ y$h_1$, y usar una para$h_2$ y la otra para$x<1$.)

Answer 2

Su declaración original no es del todo correcta. En su lugar, tenemos

• Si $f$ es continua en a$0$, $f$ es constante en $[0, 1)$.

• Si $f$ es continua en a$1$, $f$ es constante en $(0, \infty)$.

• Si $f$ es continua en a $\infty$ ($f(x)$ tiene un límite como $x \to \infty$) a continuación, $f$ es constante en $(1, \infty)$.

Si no se requieren $f$ ser continua en uno de estos tres puntos, $f$ podría ser muy irregular. Ver esto como sigue:

• Definir una función $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sin embargo usted por favor en $(1, 2]$$[-2, -1)$. También se definen $g(0)$ sin embargo usted por favor.

• Deje $g(2x) = g(x)$ todos los $x$.

• Por último, vamos a $f(x) = g(\ln x)$$x > 0$, y deje $f(0)$ ser lo que quieras.

Answer 3

¿Qué tal esto ?: Let$\sim$ sea una relación de equivalencia definida por$a \sim b$ siempre que exista un$n \in \mathbb{Z}$ para que$a^{(1/2)^n}=b$, y sea$\pi: \mathbb{R}^{\geq 0} \to \mathbb{R}^{\geq 0}/\sim$ el estándar$x \mapsto [x]$ mapa. Puede definir un mapa$j: \mathbb{R}^{\geq 0} / \sim \to \mathbb{R}^{\geq 0}$ como quiera, por ejemplo, si$\mathbb{Q} \cap [x] \neq \varnothing$ luego$j([x])=0$, y de lo contrario$j([x])=1$. Luego puede ver qué tipo de propiedades tiene el mapa$j\pi$.