Cada punto cerrado$\stackrel{?}{\Rightarrow}$ de espacio es Hausdorff

Question

Si un espacio topológico es Hausdorff, entonces cada punto está cerrado. ¿Es verdadero lo contrario?

Editado: permita que$G$ sea un grupo topológico y$H$ la intersección de todos los vecindarios de cero. Como cada coset de$H$ está cerrado, todos los puntos de$G/H$ se cerrarán. ¿Por qué eso hace$G/H$ Hausdorff?

Answer 1

Un espacio de $X$ tiene la propiedad de que todos los embarazos únicos son cerrado si y sólo si es $T_1$, lo que significa que siempre $x,y\in X$$x\ne y$, existe un conjunto abierto $U$ tal que $x\in U$$y\notin U$. La definición es simétrico, por lo que también existe un conjunto abierto $V$ tal que $y\in V$$x\notin V$, pero no hay ninguna garantía de que $U$ $V$ puede ser elegido para ser disjuntas. Por ejemplo, si $X=\Bbb N$, y el abierto de los conjuntos de $\varnothing$ y los conjuntos cuyos complementos en $\Bbb N$ son finitos, entonces $X$ $T_1$ pero no Hausdorff: en este espacio se $U\cap V\ne\varnothing$ siempre $U$ $V$ son no vacíos abrir sets, pero para cualquier distintas $m,n\in X$, $X\setminus\{n\}$ es un espacio abierto de nbhd de $m$ que no contenga $n$.

Answer 2

Observe que $H$ es un cerrado normal subgrupo de $G$, para que ver, por ejemplo, esto prueba que es un subgrupo cerrado (igual a $\operatorname{cl} \{e\}$), y de normalidad sólo se dará cuenta de que la conjugación conserva los barrios de identidad (en conjunto), por lo que no conserva intersección así.

Desde que vemos que $G/H$ es un grupo topológico.

Es un hecho conocido que para topológicos, grupos, $T_0$ implica completamente regular Hausdorff. Cada punto que se ha cerrado es equivalente a $T_1$, a partir de que $T_{3\frac {1}{2}}$, por lo que, en particular,$T_2$, de la siguiente manera.

Una prueba se puede encontrar en muchos lugares, por ejemplo, Engelking de la Topología General iirc.

Uno corto para cerró $\{e\}\implies T_2$: aviso que Hausdorffness es equivalente a la diagonal de estar cerrado. Pero la diagonal es la preimagen de identidad por el mapa $(x,y)\mapsto xy^{-1}$.

En general, no tenemos la implicación, como se muestra por ejemplo en el cofinite topología de un espacio infinito.