$i^i \approx 1/5$ o ¿qué es?

Question

Vi este video por Matt Parker, recientemente: https://www.youtube.com/watch?v=9tlHQOKMHGA

Se calcula el $i^i$ y su respuesta es de alrededor de ~1/5 bien más precisos $e^\frac{-\pi}{2}$ que utiliza

$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin{\theta}$

donde $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$

de modo que $i^i = e^{\ln{i^i}} = e^{i\ln{i}} = e^{ii\frac{\pi}{2}} = e^{-\frac{\pi}{2}}$ que es de alrededor de 1/5

lo que sea. Si usted utiliza

$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin{\theta}$

también se puede argumentar que

$e^{i\frac{5\pi}{2}} = i$

y así

$i^i = e^{-\frac{5\pi}{2}}$

lo cual es, obviamente, diferente a $e^{-\frac{\pi}{2}}$.

¿Dónde está el error?

WolframAlpha por cierto está de acuerdo con Matt ;)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=i%5Ei

Answer 1

No hay error

En realidad, hay valores infinitos para$i^i$ debido a la periodicidad.

Answer 2

$i^i$ es, por definición, $e^{i \log i}$ donde $\log z = \log |z| + i \arg z$ es una rama de registro.

Si usted elige a su rama de registro se $-\pi < \arg z < \pi$, a continuación,$i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$.

Si usted elige a su rama de registro se $\pi < \arg z < 3 \pi$, $i^i = e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi\right)}$

Tan diferente de la rama de registro le da un valor diferente de $i^i$.

La rama de registro de con $-\pi < \arg z < \pi$ se llama la rama principal, que es lo que la gente generalmente se supone que si la rama de registro, no se especifica. En esta rama, el valor de $i^i$ es llamado el principal valor de $i^i$, que se denota por a $\operatorname{PV} i^i$

Si quieres saber más de este tipo de cosas, usted puede tomar un curso en número complejo / análisis complejo.

Answer 3

El secreto está en cómo defines el logaritmo para números complejos, si tenemos un número en el círculo unitario$x$, elegimos su logaritmo por convención como el$0\leq\theta<2\pi$ para el cual$e^{2\pi i \theta}=x$; de lo contrario, log (1) podría ser igual a$2k\pi i$ para cualquier entero$k$.

Answer 4

No hay error Si$a,b\in\mathbb C$ y$a\neq0$, entonces$a^b$ representa cualquier número del formulario$\exp\bigl(b\log(a)\bigr)$, donde$\log a$ puede ser cualquier logarihtm de$a$.

Answer 5

No hay problema para tener más de un número que proporcione una solución a$z= \rm{i}^{\rm{i}}$. Esto es similar a tener$4^{1/2}$, puede resolver esto y ver que$x = 4^{1/2}$ tiene más de una solución. La clave es que, si define$\rm{i}^{\rm{i}} = e^{\rm{i}\ln{\rm{i}}}$, debe tomar la rama correcta de$\ln$, esto generalmente se considera entre$-\pi$ y$\pi$ (para números en el círculo unitario).