Soluciones enteras de$2x+3y=n$

Question

¿Cuál es la menor $m$ tal que para todos los $n\geq m$, la ecuación de $2x+3y=n$ tiene soluciones con $x,y \in \mathbb{Z}$$x,y\geq2$?

Mi enfoque. Podemos escribir las soluciones en términos del parámetro de $t$ como: $$x(t)=-n-3t$$ y $$y(t) = n+2t$$

La configuración de ambos de aquellos que mayor que o igual a$2$,$-n-3t\geq2$$n+2t\geq2$. La solución para $t$, nos encontramos con $\dfrac{-n-2}{3} \geq t \geq\dfrac{2-n}{2}$. La resolución de la resultante de la desigualdad, obtenemos $$-2n-4\geq6-3n$$ Por lo $n\geq10$. Este parece ser correcto. Para $n=10$, tome $(2,2)$. Pero, supongamos $n=11$. A continuación, $2x+3y=11$ claramente no tiene solución en la que ambos $x,y\geq2$. Es mi solución incorrecta? Puede que alguien me apunte en la dirección correcta?

EDIT: Gracias por las respuestas geniales!

Answer 1

Se consideran dos casos: $n$ es incluso y $n$ es impar.

Si $n$ es incluso entonces $2x+3y = n \implies$ $y$ es un número par. El valor mínimo posible, incluso de $n$ sería, a continuación,$2(2)+3(2)=10$. Para todos incluso a $n \ge 10$, podemos establecer $x = n/2-3$ $y=2$ a satisfacer $2x+3y=n$.

Si $n$ es impar, a continuación, $2x+3y=n$ implica que el $y$ es impar. En consecuencia, $y \ge 3$ y el valor mínimo posible de extraño $n$$2(2)+3(3) = 13$. Por extraño $n \ge 13$, podemos establecer $y=3$ $x= (n-9)/2$ a satisfacer $2x+3y=n$.

Para arriba, llegamos a la conclusión de que para $n \ge 12$, podemos encontrar un entero solución a$2x+3y=n$$x\ge2$$y \ge 2$.

Answer 2

La respuesta es claramente$10$ más que el$m'$ más pequeño, de manera que para todos$n'\ge m'$ hay enteros no negativos con$2x'+3y'=n'$. Los números del formulario$2x'+3y'$ para$x'$,$y'\ge0$ son$0,2,3,4,5,\ldots$, sin incluir$1$, pero incluyen todos incluso$n'\ge0$ y todo el% impar $n'\ge3$. Entonces, el$m'$% es$2$, y el$m$% menos en su problema es$12$ (no puede expresar$11$ bajo sus restricciones).

Answer 3

Usted está casi allí.

La solución para $t$, nos encontramos con $\dfrac{-n-2}{3} \geq t \geq\dfrac{2-n}{2}$. La resolución de la resultante de la desigualdad, obtenemos $$-2n-4\geq6-3n$$ Por lo $n\geq10$.

Quieres encontrar a $n$ tales que existe al menos un entero $t$ satisfactorio $$\dfrac{-n-2}{3} \geq t \geq\dfrac{2-n}{2}\tag1$$

Para esto, la solución de $\frac{-n-2}{3}\ge\frac{2-n}{2},$ es decir $-2n-4\ge 6-3n$ no es suficiente.

Si $\frac{-n-2}{3}-\frac{2-n}{2}\ge 1$, es decir,$n\ge 16$, $(1)$ tiene al menos un entero $t$.

Para $n=11$, no es $(x,y)$.

$2\cdot 3+3\cdot 2=12$.

$2\cdot 2+3\cdot 3=13$.

$2\cdot 4+3\cdot 2=14$.

$2\cdot 3+3\cdot 3=15$.

Así, la respuesta es $12$.