¿La ley de Biot-Savart se obtiene empíricamente o se puede derivar?

Question

Ya hay una pregunta similar a esta aquí por lo que mi pregunta podría considerarse duplicada, pero trataré de dejar en claro que esta es una pregunta diferente.

¿Hay alguna manera de derivar la Ley de Biot-Savart a partir de la Ley de la Fuerza de Lorentz o solo a partir de las Ecuaciones de Maxwell?

La cuestión es que generalmente definimos, basándonos en experimentos, que la fuerza sentida por una carga en movimiento en presencia de un campo magnético es $\mathbf {F} = q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$, pero en ese caso el campo magnético suele ser definido más adelante.

¿Ahora, se puede usar de alguna manera esa ley de fuerza para obtener la Ley de Biot-Savart al igual que obtenemos la ecuación para el campo eléctrico directamente a partir de la Ley de la Fuerza de Coulomb?

Quería saber eso porque, como señalé en la pregunta que mencioné, aunque las Ecuaciones de Maxwell pueden considerarse más fundamentales, esas ecuaciones se obtienen después de conocer las leyes de Coulomb y Biot-Savart, por lo que si comenzamos con las Ecuaciones de Maxwell para obtener la Ley de Biot-Savart habiendo usado esta última para encontrar las Ecuaciones de Maxwell, creo que caeríamos en un argumento circular.

En ese caso, ¿sin recurrir a las Ecuaciones de Maxwell, la única forma de obtener la Ley de Biot-Savart es a través de observaciones o se puede derivar de alguna manera?

Answer 1

$\def\VA{{\bf A}} \def\VB{{\bf B}} \def\VJ{{\bf J}} \def\VE{{\bf E}} \def\vr{{\bf r}}$La ley de Biot-Savart es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell.

Asumimos las ecuaciones de Maxwell y elegimos la medida de Coulomb, $\nabla\cdot\VA = 0$. Entonces $$\nabla\times\VB = \nabla\times(\nabla\times\VA) = \nabla(\nabla\cdot\VA) - \nabla^2\VA = -\nabla^2\VA.$$ Pero $$\nabla\times\VB - \frac{1}{c^2}\frac{\partial\VE}{\partial t} = \mu_0 \VJ.$$ En estado estacionario, esto implica $$\nabla^2\VA = -\mu_0 \VJ.$$ Así, tenemos la ecuación de Poisson para cada componente de la ecuación anterior. La solución es $$\VA(\vr) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\VJ(\vr')}{|\vr-\vr'|}d^3 r'.$. Ahora solo necesitamos calcular $\VB = \nabla\times\VA$. Pero $$\nabla\times\frac{\VJ(\vr')}{|\vr-\vr'|} = \frac{\VJ(\vr')\times(\vr-\vr')}{|\vr-\vr'|^3}$$ y entonces $$\VB(\vr) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\VJ(\vr')\times(\vr-\vr')}{|\vr-\vr'|^3} d^3 r'.$. Esta es la ley de Biot-Savart para un cable de grosor finito. Para un cable delgado esto se reduce a $$\VB(\vr) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{I d{\bf l}\times(\vr-\vr')}{|\vr-\vr'|^3}.$

Adición: En matemáticas y ciencia es importante tener en cuenta la distinción entre el desarrollo histórico y lógico de un tema. Conocer la historia de un tema puede ser útil para tener una idea de las personalidades involucradas y a veces para desarrollar una intuición sobre el tema. La presentación lógica del tema es la forma en que los practicantes lo piensan. Encapsula las ideas principales de la manera más completa y simple. Desde este punto de vista, el electromagnetismo es el estudio de las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. Todo lo demás es secundario, incluida la ley de Biot-Savart.

Answer 2

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Es posible que en tiempos antiguos las personas midieran la fuerza resultante de una corriente filamentosa, descubriendo la ley de Biot-Savart, y luego a su vez utilizaran eso como inspiración para construir las ecuaciones de Maxwell. Si eso es realmente lo que sucedió históricamente, está bien.

Pero esto es análogo a algún arqueólogo alienígena que, 10 millones de años en el futuro, encuentre una mano y un pie esqueléticos en la Tierra. A partir de la mano, el arqueólogo llega a comprender lo que le gustaba hacer al animal que tenía esa mano: que podía agarrar y usar herramientas, etc. A partir del pie, el arqueólogo llega a entender que el animal al que pertenecía caminaba en dos patas y que típicamente pesaba en la adultez alrededor de 100-300 libras.

Recién después el arqueólogo descubre que la mano y el pie pertenecían al mismo animal, un ser humano. Sin embargo, la naturaleza del trabajo significa que el rompecabezas de lo que era un ser humano tiene que descomponerse en trozos que puedan ser entendidos individualmente antes de que la imagen completa se pueda juntar. Dicho esto, sería erróneo sugerir que la mano y el pie son más fundamentales que el propio ser humano.

Las ecuaciones de Maxwell se han construido para ser consistentes con la ley de Biot-Savart y otras piezas de información, como la ley de Coulomb. Por lo tanto, puedes derivar la ley de Biot-Savart a partir de Maxwell, pero no al revés, ya que Maxwell es más general y abarcativo.

Si ya sabes la ley de fuerza de Lorentz, puedes inferir la fuerza del campo magnético de un alambre solo disparando partículas de prueba cargadas cerca del alambre y observando su movimiento. Pero esto pone en duda cómo ya sabes la ley de fuerza de Lorentz, y así sucesivamente.

Puedes dar vueltas todo el día sobre lo que es o no es fundamental, sobre lo que debe basarse en observación experimental y lo que simplemente se construye para ser consistente con esas observaciones, pero a menudo hay una preferencia por considerar como "fundamentales" las observaciones experimentales "simples" vs. constructos teóricos que incorporan muchas de esas observaciones. Véase el comentario de Chris White que las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar de la ley de Coulomb y algunas otras cosas.

Para mí, esto es absurdo. Las ecuaciones de Maxwell incorporan el total de nuestras observaciones (aquellas que se ajustan al régimen clásico, al menos). Para mí, es lo que sabemos sobre electromagnetismo clásico. Decir que puedes derivar las ecuaciones de Maxwell con solo un resultado más unas cuantas suposiciones...bueno, pasa por alto el hecho de que esas suposiciones también tuvieron que ser probadas y verificadas en primer lugar. Para mí, es muy, muy retrógrado enfocarse en casos especiales (puro eléctrico, puro magnético, campos estáticos o dinámicos) y tratarlos como "fundamentales".

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Edición: pero realmente, un físico necesita trabajar en ambas direcciones. Para crear una nueva teoría, a menudo tenemos casos especiales que no sabemos si están conectados y debemos unirlos. Eso es construir las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Coulomb y Biot-Savart. Para analizar un problema en particular de la manera más fácil, uno del que no estemos seguros de que haya una fórmula para casos especiales, debemos recurrir a la descripción más general (Maxwell) y tratar de simplificarla a algo más simple y fácil de resolver (en el caso de la ausencia de corriente y de dependencia temporal, puedes regresar a la ley de Coulomb). Ambos enfoques son necesarios para ser lo más flexibles posible.

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Answer 3

Por favor, sigue el siguiente enlace. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot y ve a la sección "Trabajo". Se dice que la ley fue descubierta experimentalmente en el año 1820, es decir, 45 años antes de que se publicaran las ecuaciones de Maxwell. La formulación general de la ley de Biot-Savart fue dada por P. Laplace. La expresión de la Ley de Biot-Savart (la integración) muestra que el principio de superposición ya está incluido en ella. Las ecuaciones de Maxwell se desarrollaron más tarde y se diseñaron de manera adecuada para abarcar las implicaciones de la ley de Biot-Savart. Quizás esa sea la razón por la cual podemos derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Biot-Savart y viceversa.

Por favor, ve a este enlace https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force y ve la sección "Historia". Se dice que en el año 1881, es decir, 16 años después de que se publicaran las ecuaciones de Maxwell, Thomson derivó por primera vez una forma de la ley de fuerza de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell. Finalmente, la forma moderna de la ley de fuerza de Lorentz fue derivada por Lorentz en 1892 a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Entonces, la secuencia histórica es la siguiente:

Ley de Biot-Savart ==> Ecuaciones de Maxwell ==> Ley de fuerza de Lorentz.

Pero en las aulas se nos enseña en la siguiente secuencia:

Primero: La ley de fuerza de Lorentz, para introducir el concepto de que el campo magnético ejerce fuerza sobre una carga en movimiento.

Segundo: La ley de Biot-Savart, para introducir el concepto de que las cargas en movimiento producen campo magnético.

Tercero: Las ecuaciones de Maxwell; la generalización de todas las observaciones experimentales en electromagnetismo.

Así que la conclusión es:

(1) La ley de Biot-Savart es una ley observada experimentalmente. Esta ley también incluye la idea de que el principio de superposición es válido en magnetostática. Esta ley proporcionó la base para la magnetostática.

(2) Las ecuaciones de Maxwell fueron derivadas de tal manera que abarcan los hallazgos de la ley de Biot-Savart (junto con otras observaciones experimentales de electromagnetismo). Es una generalización teórica. Las ecuaciones de Maxwell son más fundamentales que cualquier otra observación experimental porque los experimentos generalmente se realizan bajo ciertas circunstancias y por lo tanto no pueden proporcionar información generalizada.

(3) La ley de fuerza de Lorentz fue derivada de las ecuaciones de Maxwell pero puede ser verificada experimentalmente directamente.

NOTA

"Observación y luego generalización": Creo que así es como se desarrolla la física. La observación (experimento) siempre establece la base. La generalización abarca la observación y extiende su usabilidad a otras configuraciones, casos y circunstancias imaginables. Por lo tanto, siempre es posible derivar una generalización a partir de una observación y viceversa. [La ley de Biot-Savart puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse de la ley de Biot-Savart].

Aquí se enfatiza que la Ley de Biot-Savart es la observación importante que inició el campo de la magnetostática. Las ecuaciones de Maxwell (Generalización) y el concepto de potencial vectorial (una propiedad general de un campo vectorial) pueden usarse para derivar la ley de Biot-Savart, pero eso no significa que la ley sea solo un paso intermedio en el desarrollo del conocimiento sobre la magnetostática. Que sea posible derivar la ley de Biot-Savart a partir de las ecuaciones de Maxwell y el concepto de potencial vectorial solo certifica que la Generalización en las ecuaciones de Maxwell es correcta.

Answer 4

Partiendo de un experimento tipo Anillo de Rowland, es posible definir la permeabilidad como una medida del flujo generado en un volumen unitario por ampere-vuelta. Si luego asumimos que este flujo se disipa como una ley del cuadrado inverso, obtenemos la ley de Biot-Savart como un análogo magnético de la ley de Coulomb con la adición del producto cruzado que se encarga de la perpendicularidad de la dirección del campo y estrictamente bajo la comprensión de que es una hipótesis de trabajo validada por su utilidad ya que un elemento de corriente no puede existir de forma aislada del resto de su circuito. Mi consejo - Ignora todas las tentaciones de involucrarte en más matemáticas de las necesarias, eso te llevará a la comprensión. Espero que esto ayude.

Answer 5

Tenemos que mirar la línea de tiempo (la historia). La ley de Biot-Savart fue publicada antes de la publicación de las Ecuaciones de Maxwell. Por lo tanto, es la Ley de Gauss para Campos Magnéticos (la Segunda Ecuación de Maxwell) que se deriva de la Ley de Biot-Savart y no al revés. La derivación de la Ley de Gauss para Campos Magnéticos (la Segunda Ecuación de Maxwell) a partir de la Ley de Biot-Savart se puede leer aquí Ley de Gauss para Campos Magnéticos