Es la curva$ z = e^{i\theta}\left(\frac{7}{8} + \frac{1}{4} e^{6i\theta}\right) $ algebraica?

Question

Es este espirógrafo curva algebraica? Yo un solo escribir en coordenadas polares:

$$ z = e^{i\theta}\left(\frac{7}{8} + \frac{1}{4} e^{6i\theta}\right) $$

y aquí está una foto. Es una de las seis caras de rosa en forma de curva, un hypotrochoid.

Leí en alguna parte que todos los espirógrafo curvas algebraicas, por lo que esta debe ser la solución de alguna ecuación polinómica $p(x,y) = 0$. Entonces yo podría hacer preguntas acerca de esta curva como una superficie de Riemann.

Answer 1

Si escribimos $$x=(\cos{\theta})(-\frac78+16(\cos{\theta})^6-28(\cos{\theta})^4+14(\cos{\theta})^2)$$ $$y=(\sin{\theta})(\frac58+16(\cos{\theta})^6-20(\cos{\theta})^4+6(\cos{\theta})^2)$$

and use the relation $(\cos{\theta})^2+(\sin{\theta})^2-1=0$, in M2:

R=QQ[s,c,x,y,MonomialOrder=>Lex]
I=ideal(x-c*(-7/8+16*c^6-28*c^4+14*c^2),y-s*((5/8)+16*c^6-20*c^4+6*c^2),s^2+c^2-1)
gens gb I

we get:

$1099511627776x^{14}+7696581394432x^{12}y^2-1322849927168x^{12}+23089744183296x^{10}y^4-7937099563008x^{10}y^2+37580963840x^{10}+38482906972160x^8y^6-19842748907520x^8y^4+187904819200x^8y^2+ 16089350144x^8+38482906972160x^6y^8-26456998543360x^6y^6+375809638400x^6y^4+64357400576x^6y^2-211099320320x^6+23089744183296x^4y^{10}-19842748907520x^4y^8+375809638400x^4y^6+96536100864x^4 y^4+3252665450496x^4y^2-1567641600x^4+7696581394432x^2y^{12}-7937099563008x^2y^{10}+187904819200x^2y^8+64357400576x^2y^6-3223940235264x^2y^4-3135283200x^2y^2-5511240000x^2+1099511627776y^{14}- 1322849927168y^{12}+37580963840y^{10}+16089350144y^8+220674392064y^6-1567641600y^4-5511240000y^2-8303765625=0$

Visualizado en geogebra uso de la ImplicitCurve comando:

Answer 2

Usted ha dado una parametrización de la curva por un círculo, y un círculo tiene género $0$, por lo que es un género $0$ curva. Buscando al azar líneas que se intersecan, usted debe esperar su total grado de al menos el $6$$x,y$. Para dar cuenta de los altos grados que debe tener una gran cantidad de nodos (ya se puede ver a $6$ de ellos, pero debe haber al menos $10$ si el grado es $6$)

Ya que es invariante por la reflexión en torno al eje, la ecuación puede ser escrita en términos de$x^2$$y^2$.
De hecho es invariante por la acción de un grupo diedral de orden $12$, por lo que si sabía de memoria el sub-anillo de $\Bbb R[x,y]$ invariante por que se podría decir incluso más.

escrito $e^{i\theta} = c+is$ donde $c^2+s^2=1$ puede escribir $x=f(c)$ $y=sg(c)$ donde $f$ $g$ son algunos de los polinomios de grado $7$$6$.

A continuación, $x^2$ $y^2$ son dos polinomios de grado $7$$c^2$, por lo que debe tener una expresión algebraica de la relación.
La dimensión del espacio de polinomios de grado en la mayoría de las $14$ en dos variables es mayor que la dimensión del espacio de polinomios de grado en la mayoría de las $98$ en una variable, por lo que la curva de la ecuación tiene un grado en la mayoría de las $28$$x,y$.

Answer 3

Dado$$ x=\frac{7}{8}\cos\theta+\frac{1}{4}\cos(7\theta),\qquad y=\frac{7}{8}\sin\theta+\frac{1}{4}\sin(7\theta) $ $, tenemos$x^2+y^2=\frac{1}{64}\left(53+28\cos(6\theta)\right)$ y el hipotrocoide dado es una curva algebraica, ya que podemos eliminar la variable$t$ en$$ \left\{\begin{array}{ccc} x& =& \frac{7}{8} T_1(t) + \frac{1}{4}T_7(t)\\x^2+y^2&=&\frac{53}{64}+\frac{7}{16}T_6(t).\end{array}\right.$ $