Esta respuesta requiere de la solución de tres subproblemas:
Cuántos autobuses llegados $N$ espero que sufrir antes de experimentar un tiempo entre llegadas de autobuses $> T_{min}$?
¿Cuál es el tiempo de espera entre autobuses $\mathbb{E}T_s$ que $T_s \leq T_{min}$?
¿Cuál es el tiempo de espera entre dos periodos consecutivos de buses $\mathbb{E}T_l$ que $T_l > T_{min}$?
La respuesta final es igual a $\mathbb{E}N \mathbb{E}T_s + \mathbb{E}T_l$, o tal vez sólo se $\mathbb{E}N \mathbb{E}T_s$ si el tiempo de permanencia en el último intervalo no es contabilizada.
La respuesta 3 es bastante fácil, gracias a la Exponencial / de Poisson de la asunción. El memoryless de propiedades de la distribución Exponencial implica que $\mathbb{E}T_l = T_{min} + T_0$.
La respuesta 2 es un poco más complicado; tenemos que encontrar el valor esperado de la correspondiente condicional al azar de la variable aleatoria:
$$\frac{\int_0^{T_{\min}}xe^{-x/T_0}\text{d}x}{T_0(1-e^{-T_{min}/T_0})}$$
which, using integration by parts, solves to:
$$\frac{T_0 - (T_0+T_{min})e^{-T_{min}/T_0}}{1-e^{-T_{min}/T_0}}$$
As @Moormanly has observed, $N$ is distributed Geometric, in this case with parameter $p = \exp\{-T_{min}/T_0\}$. The expected value of a Geometric$(p)$ distribution is $(1-p)/p$, so, substituting and writing the full equation out, we get:
$$\left(\frac{1-e^{-T_{min}/T_0}}{e^{-T_{min}/T_0}}\right)\left(\frac{T_0 - (T_0+T_{min})e^{-T_{min}/T_0}}{1-e^{-T_{min}/T_0}}\right)+T_{min}+T_0$$
where the last two terms are optional depending upon the exact nature of the problem being solved. Making the obvious cancellation leads to:
$$\frac{T_0 - (T_0+T_{min})e^{-T_{min}/T_0}}{e^{-T_{min}/T_0}}+T_{min}+T_0$$
and some further algebra gets us to:
$$\frac{T_0}{e^{-T_{min}/T_0}}$$
Checking our results via simulation on your sample problem comes next. $T_0 = 10$ and $T_{min}=5$ nos da un resultado calculado de 16.483. Nuestra simulación de código:
res <- rep(0,10000)
for (i in 1:length(res)) {
res[i] <- x <- rexp(1,1/10)
while (x < 5) {
x <- rexp(1,1/10)
res[i] <- res[i] + x
}
}
c(mean(res), (mean(res)-10/exp(-0.5))/(sd(res)/sqrt(length(res))))
los informes de la simulación de la media y la asociada a la t-estadística para la prueba de si es o no es igual al valor calculado. Los resultados son:
> c(mean(res), (mean(res)-10/exp(-0.5))/(sd(res)/sqrt(length(res))))
[1] 16.5793553 0.8998745
lo que parece confirmar que no hemos metido hasta nuestros álgebra en cualquier lugar.
