Proceso de Poisson: ¿cuánto tiempo hasta que observemos dos eventos separados por al menos una cantidad específica de tiempo?

Question

El tiempo entre los eventos en un proceso de Poisson es descrito por el pdf $f(t; T_0)=\frac{1}{T_0}e^{-t/T_0}$.

Estoy interesado en la estimación de cuánto tiempo tendríamos que observar este proceso antes de ver dos eventos separados por al menos un tiempo especificado $T_{min}$. En otras palabras, ¿cuánto tiempo necesito para observar el proceso antes de que te vea un evento, mientras que no se ha visto un evento en el tiempo anterior $T_{min}$?

Ejemplo concreto: el tiempo entre los autobuses que lleguen a una parada es descrita por una distribución exponencial con media de 10 minutos. ¿Cuánto tiempo tengo que esperar en la parada del autobús antes de que te vea un autobús, mientras que no se ha visto un autobús en los últimos 5 minutos?

Answer 1

Esta respuesta requiere de la solución de tres subproblemas:

1. Cuántos autobuses llegados $N$ espero que sufrir antes de experimentar un tiempo entre llegadas de autobuses $> T_{min}$?

2. ¿Cuál es el tiempo de espera entre autobuses $\mathbb{E}T_s$ que $T_s \leq T_{min}$?

3. ¿Cuál es el tiempo de espera entre dos periodos consecutivos de buses $\mathbb{E}T_l$ que $T_l > T_{min}$?

La respuesta final es igual a $\mathbb{E}N \mathbb{E}T_s + \mathbb{E}T_l$, o tal vez sólo se $\mathbb{E}N \mathbb{E}T_s$ si el tiempo de permanencia en el último intervalo no es contabilizada.

La respuesta 3 es bastante fácil, gracias a la Exponencial / de Poisson de la asunción. El memoryless de propiedades de la distribución Exponencial implica que $\mathbb{E}T_l = T_{min} + T_0$.

La respuesta 2 es un poco más complicado; tenemos que encontrar el valor esperado de la correspondiente condicional al azar de la variable aleatoria:

$$\frac{\int_0^{T_{\min}}xe^{-x/T_0}\text{d}x}{T_0(1-e^{-T_{min}/T_0})}$$

which, using integration by parts, solves to:

$$\frac{T_0 - (T_0+T_{min})e^{-T_{min}/T_0}}{1-e^{-T_{min}/T_0}}$$

As @Moormanly has observed, $N$ is distributed Geometric, in this case with parameter $p = \exp\{-T_{min}/T_0\}$. The expected value of a Geometric$(p)$ distribution is $(1-p)/p$, so, substituting and writing the full equation out, we get:

$$\left(\frac{1-e^{-T_{min}/T_0}}{e^{-T_{min}/T_0}}\right)\left(\frac{T_0 - (T_0+T_{min})e^{-T_{min}/T_0}}{1-e^{-T_{min}/T_0}}\right)+T_{min}+T_0$$

where the last two terms are optional depending upon the exact nature of the problem being solved. Making the obvious cancellation leads to:

$$\frac{T_0 - (T_0+T_{min})e^{-T_{min}/T_0}}{e^{-T_{min}/T_0}}+T_{min}+T_0$$

and some further algebra gets us to:

$$\frac{T_0}{e^{-T_{min}/T_0}}$$

Checking our results via simulation on your sample problem comes next. $T_0 = 10$ and $T_{min}=5$ nos da un resultado calculado de 16.483. Nuestra simulación de código:

res <- rep(0,10000)
for (i in 1:length(res)) {
   res[i] <- x <- rexp(1,1/10)
   while (x < 5) {
      x <- rexp(1,1/10)
      res[i] <- res[i] + x
   }
}

c(mean(res), (mean(res)-10/exp(-0.5))/(sd(res)/sqrt(length(res))))

los informes de la simulación de la media y la asociada a la t-estadística para la prueba de si es o no es igual al valor calculado. Los resultados son:

> c(mean(res), (mean(res)-10/exp(-0.5))/(sd(res)/sqrt(length(res))))
[1] 16.5793553  0.8998745

lo que parece confirmar que no hemos metido hasta nuestros álgebra en cualquier lugar.

Answer 2

Piense primero en el número de eventos esperados a observar, pensar acerca de la cantidad de tiempo que tomará para observar los acontecimientos.

Dejando $N$ el número de eventos antes de que entre la hora de llegada de al menos $T_{min}$, ver que $N$ es geométrica con parámetro de $p=P(T_i>T_{min})$. Ahora vamos a $T$ la cantidad de tiempo necesario para observar estos eventos. Ampliar el uso total de la expectativa: $$E[T]\\=\sum_{n=1}^\infty P(N=n) E[T|N=n]\\=\sum_{n=1}^\infty P(N=n) \bigg((n-1)E[T_i|T_i<T_{min}]+E[T_i|T_i \ge T_{min}]\bigg)$$