Si $f(\mathbb{R}) \subseteq \mathbb{Q}$, demuestran que, a $f$ es constante.

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función con $f(\mathbb{R})\subseteq \mathbb{Q}$ tal que para cada secuencia de Cauchy de números racionales $(a_i)$, $\lim_{i\to \infty}f(a_i)$ existe. Demostrar que $f$ es constante.

Si puedo demostrar que $f$ es continua entonces yo soy capaz de hacer este problema, soy incapaz de probar que la función es continua.

Yo:

Tome $x\in \mathbb{R}$. Entonces existe una secuencia racional de nmber la convergencia a la que $x$, decir $(x_n)$. Después de que no puede pensar en qué hacer a continuación.

Answer 1

No. Contador de ejemplo: $f : \mathbb R\to \mathbb R$, donde

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x=\sqrt 2 \\ 0 & \text{if } x\neq \sqrt 2.\end{cases}$$

Para cualquier $a_n\in \mathbb Q$, $f(a_n) = 0$ y así tiene un límite. Pero esto $f$ no es constante.