Brutal gaussiano integral de la muerte $\int_{\mathbb{R}} x \Phi(x) \phi(Bx-b)$

Question

Ciao,

Yo estaba haciendo algunos cálculos y se me ha pegado en esto.

Deje $B$ $b$ ser positivo constante. Llamamos a $\phi(x)$ estándar de la distribución gaussiana y $\Phi(x)$ su función acumulativa, es decir, $$ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} $$ $$ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(s) ds $$

a continuación, calcular

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}x\Phi(x)\phi(Bx - b) dx $$

Si ayuda me puede probar este resultado: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}x\Phi(x)\phi(x) dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}= \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Cualquier sugerencia o sugerencia será bienvenida, gracias!

Ciao

AM

Answer 1

Tenemos $$ \int_{- \infty}^x ds \ \phi(s) = \int_{- \infty}^0 ds \ \phi(s + x) \ .$$ Usando el teorema de Fubini, tenemos $$ \int_{-\infty}^\infty dx \ x \Phi(x) \phi(Bx - b) = \int_{- \infty}^0 ds \int_{-\infty}^\infty dx \ x \phi(s + x) \phi(Bx + b) \ .$$ Computación en el interior de la integral, tenemos $$ \int_{-\infty}^\infty dx \ x \phi(s + x) \phi(Bx + b) = \frac{(bB - s)e^{- \frac{(Bs + b)^2}{2(1 + B^2)}} }{\sqrt{2 \pi}(1 + B^2)^\frac{3}{2}} \ .$$ Tenemos $$ \int_{- \infty}^0 ds \int_{-\infty}^\infty dx \ x \phi(s + x) \phi(Bx + b) = \int_{0}^\infty ds \ \frac{(bB + s)e^{- \frac{(- Bs + b)^2}{2(1 + B^2)}} }{\sqrt{2 \pi}(1 + B^2)^\frac{3}{2}} \ .$$ A partir de aquí, supongo que tiene una representación en términos de la función de error. No veo otra manera de simplificar esta expresión.

Si establecemos $B = 1$$b = 0$, entonces el valor de esta integral está de acuerdo con el valor que Anne calculado en los comentarios.