Sumas de $5$ y $7$ potencias de números naturales: $\sum\limits_{i=1}^n i^5+i^7=2\left( \sum\limits_{i=1}^ni\right)^4$ ?

Question

Considere lo siguiente:

$$(1^5+2^5)+(1^7+2^7)=2(1+2)^4$$

$$(1^5+2^5+3^5)+(1^7+2^7+3^7)=2(1+2+3)^4$$

$$(1^5+2^5+3^5+4^5)+(1^7+2^7+3^7+4^7)=2(1+2+3+4)^4$$

En general es cierto para un mayor aumento es decir,

Es

$$\sum_{i=1}^n i^5+i^7=2\left( \sum_{i=1}^ni\right)^4$$ verdadero $\forall $ $n \in \mathbb{N}$

Answer 1

Ambos lados son polinomios en $n$ de grado $8$ . Dado que coinciden para $n=0,\dots,8$ son iguales.

Cualquier $9$ puntos será suficiente. Tomando $n=-4,\dots,4$ es probablemente más fácil de hacer a mano.

Answer 2

La fórmula ya es válida para $n=1,2,....,5$ y sabemos que $$ \sum_{i=1}^ni= \frac{n\left(n+1\right)}{2}$$ Supongamos que $$\sum_{i=1}^n i^5+i^7=2\left( \sum_{i=1}^ni\right)^4 =\frac{n^4\left(n+1\right)^4}{8}$$

entonces, $$\begin{align}\sum_{i=1}^{n+1} i^5+i^7&=\sum_{i=1}^{n} i^5+i^7 +(n+1)^5 +(n+1)^7\\&=\color{blue}{\frac{n^4\left(n+1\right)^4}{8}}+(n+1)^5 +(n+1)^7 \\&=\color{blue}{\frac{n^4\left(n+1\right)^4}{8}}+(n+1)^4\left[n+1 +(n+1)^3 \right] \\&=(n+1)^4\left( \frac{n^4}{8} +n+1 +\color{red}{n^3+3n^2+3n+1}\right) \\&=(n+1)^4\left( \frac{n^4}{8}+ n^3+3n^2+4n+2\right) \\&=\frac{(n+1)^4}{8}\left( n^4+ \color{blue}{4}\cdot\color{red}{2}\cdot n^3+\color{blue}{6}\cdot\color{red}{2^2}\cdot n^2+\color{blue}{4}\cdot\color{red}{2^3}\cdot n+\color{red}{2^4}\right) \\&=\color{blue}{\frac{\left(n+1\right)^4\left(n+2\right)^4}{8}=2\left( \sum_{i=1}^{n+1}i\right)^4}\end{align}$$

que demuestran que la fórmula es verdadera

Answer 3

Aviso $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ . Para la identidad que nos ocupa,

$$\sum_{k=1}^n k^5 + \sum_{k=1}^n k^7 \stackrel{?}{=} 2 \left(\sum_{k=1}^n k\right)^4$$ Si se calcula la diferencia de los términos sucesivos en el lado derecho, encontramos

$$\begin{align}{\rm RHS}_n - {\rm RHS}_{n-1} &= 2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^4-2\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^4\\ &= \frac{n^4}{8}\left((n+1)^4 - (n-1)^4\right) = \frac{n^4}{8}\left(8n^3 + 8n\right) = n^7 + n^5\end{align}$$ Esto equivale claramente a ${\rm LHS}_n - {\rm LHS}_{n-1}$ . Como resultado, $${\rm LHS}_n - {\rm RHS}_{n} = {\rm LHS}_{n-1} - {\rm RHS}_{n-1}$$ y la expresión ${\rm LHS}_n - {\rm RHS}_{n}$ es independiente de $n$ . Como esta diferencia desaparece en $n = 0$ podemos concluir que ${\rm LHS}_n = {\rm RHS}_n$ para todos $n$ y por lo tanto establece la identidad en cuestión.

Answer 4

He aquí algunas observaciones interesantes, que son demasiado largas para incluirlas como comentario.

Se puede encontrar una referencia útil aquí .

Denotando $\displaystyle\sum_{r=1}^n r^m=\sigma_m$ observamos que

$$\begin{align}\sigma_3&=\sigma_1^2\tag{1}\\ \frac{\sigma_5}{\sigma_3}&=\frac {4\sigma_1-1}{3}\tag{2}\\ \frac {\sigma_7}{\sigma_3}&=\frac {6\sigma_1^2-4\sigma_1+1}3\tag{3}\end{align}$$

Añadiendo $(2),(3)$ y utilizando $(1)$ da $$\begin{align} \frac {\sigma_5+\sigma_7}{\sigma_3}&=2\sigma_1^2=2\sigma_3\\ \sigma_5+\sigma_7&=2\sigma_3^2=2\sigma_1^4\end{align}$$

Answer 5

Sea el LHS $A(n)$ y que la RHS sea $2B(n)^4.$

Entonces $A(n+1)-A(n)=(n+1)^7+(n+1)^5=(n+1)^5(n^2+2n+2).$

$$\text {We have }\quad 2B(n+1)^4-2B(n)^4=$$ $$(*)\quad =2(B(n+1)^2+B(n)^2)\cdot (B(n+1)+B(n))\cdot (B(n+1)-B(n)).$$ Desde $B(n)=n(n+1)/2$ tenemos $$B(n+1)^2+B(n)^2=(n+1)^2((n+2)^2+n^2)/4=(n+1)^2(n^2+2n+2)/2$$ $$\text { and}\quad B(n+1)+B(n)=(n+1)((n+2)+n)/2=(n+1)^2$$ $$\text { and }\quad B(n+1)-B(n)=n+1.$$ A partir de ellos calculamos $(*)$ (4ª línea desde arriba) y encontrar que es igual a $(n+1)^5(n^2+2n+2)$ que es $A(n+1)-A(n).$ (2ª línea desde arriba.).

Así que si $A(1)=B(1)$ entonces $A(n)=B(n)$ para todos $n\in \Bbb N$ por inducción en $n.$

Una identidad interesante. Otra interesante es $\sum_{x=1}^nx^3=(\sum_{x=1}^nx)^2=(n(n+1)/2)^2.$