¿Hace la diferencia entre dos v.a. simétrico ' s también tienen una distribución simétrica?

Question

¿Si tengo dos diferentes distribuciones simétricas (con respecto a la mediana) $X$ $Y$, es la diferencia de $X-Y$ también una distribución simétrica (con respecto a la mediana)?

Answer 1

Deje $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ Pdf simétrica sobre los separadores de las $a$ $b$ respectivamente. Mientras $X$ $Y$ son independientes, la distribución de probabilidad de la diferencia de $Z = X - Y$ es la convolución de $X$$-Y$, es decir,

$$ p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g (y) dy, $$

donde $h(y) = g(-y)$ es simplemente el PDF en $-Y$ con una mediana de $-b.$

Intuitivamente, se podría esperar que el resultado sea simétrico con respecto al $a - b$ así que vamos a intentar que.

$$ \begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split} $$

En la segunda línea he utilizado la sustitución de $v = b - y$ en la integral. En la tercera línea, he utilizado tanto la simetría de $f(x)$ $a$ e de $g(-y)$ $-b.$ Esto demuestra que $p(z)$ es simétrico con respecto al $a - b$ si $f(x)$ es simétrico con respecto al $a$ $g(y)$ es simétrico con respecto al $b.$

Si $X$ $Y$ no eran independientes, y $f$ $g$ eran simplemente distribuciones marginales, entonces debemos conocer la distribución conjunta, $X,Y \sim h(x,y).$ a Continuación, en la integral, se tendría que reemplazar $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$ sin Embargo, sólo porque las distribuciones marginales son simétricas, lo que no implica que el conjunto de la distribución es simétrica alrededor de cada uno de sus argumentos. De modo que no se pueda aplicar razonamiento similar.

Answer 2

Esto va a depender de la relación entre el$x$$y$, aquí es un ejemplo contrario donde $x$ $y$ son simétricas, sino $x-y$ no es:

$$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$$ $$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$$ $$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$$

Así que aquí la mediana de $x-y$ no es la misma que la diferencia en las medianas y $x-y$ no es simétrica.

Editar

Esto puede ser más claro en @whuber la notación:

Considerar la distribución uniforme discreta donde $x$ $y$ están relacionados con tal que sólo puede seleccionar uno de los siguientes pares:

$$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$$

Si usted insiste en pensar en un completo conjunto de distribución, a continuación, considere el caso donde $x$ puede tomar cualquiera de los valores de $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ puede tomar los valores de $(-3, -1, 0, 1, 3)$ y la combinación puede tomar en cualquiera de los 25 pares. Pero la probabilidad de que el dado pares de arriba es de un 16% cada una y todas las otras posibles combinaciones probabilidad de 1% cada uno. La distribución marginal de $x$ será uniforme discreta que cada valor tiene 20% de probabilidad y por lo tanto simétricas respecto a la mediana de 0, lo mismo es cierto para $y$. Tomar una muestra grande de la distribución conjunta y mirar sólo a $x$ o sólo $y$ y verás una uniforme distribución marginal (simétrico), pero tomar la diferencia de $x-y$ y el resultado no va a ser simétrica.

Answer 3

Usted tendrá que asumir independencia entre X y Y para esto en general. El resultado sigue directamente puesto que la distribución de los $X-Y$ es una convolución de funciones simétricas, que también es simétrica.