¿En electromagnetismo, las ecuaciones predicen que perturbaciones electromagnéticas viajan a la velocidad de $$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}.$de Maxwell $ Does general relativity predict that gravitational waves travel at the same speed or is this "put in by hand", that is, is there a wave equation with constants that presumably include the gravitational constant $ $ %G y otras constantes?
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thierryb
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Sí, GR predice luminal de propagación de las ondas gravitacionales, por ahora confirmado en la LIGO. Linealizado de la gravedad es una adecuada aproximación la relatividad general: el espacio-tiempo métricas, $g_{ab}$, puede ser tratados como desviarse ligeramente de un plano métrico, $\eta_{ab}$, \begin{equation} g_{ab} = \eta_{ab} + h_{ab},\qquad ||h_{ab}|| \ll 1\;. \end{equation} El resultado de tensor de Einstein, a continuación, se $$ G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} R \\ = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {h^c}_a + \partial^c \partial_a h_{bc} - \Cuadro h_{ab} - \partial_a\partial_b h -\eta_{ab}\partial_c\partial^d {h^c}_d + \eta_{ab} \Cuadro h\right)\;. $$
En términos de la traza de la inversa de la perturbación $\bar h_{ab} = h_{ab} - \frac{1}{2}\eta_{ab} h$, esto se reduce a $$ G_{ab} = \frac{1}{2}\left(\partial_c\partial_b {{\bar h}^c}_{\ a} + \partial^c \partial_a \bar h_{bc} - \Caja \bar h_{ab} -\eta_{ab} \partial_c\partial^d {{\bar h}^c}_{\ d}\right)\;.$$
En Lorenz calibre, esto puede ser hackeado hacia abajo para $$ G_{ab} = -\frac{1}{2}\Caja \bar h_{ab}\;, $$ un relativista de la ecuación de onda en el vacío, donde Gabse desvanece, $$ \left (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right ) \bar h_{ab}=0\;. $$
Así que esta perturbación (ondas gravitacionales) viaja con la velocidad de la luz. Sobre la cuantización, usted puede ver fácilmente que su quantum de la excitación, el gravitón, es sin masa, y también viaja con la velocidad de la luz, como todas las partículas sin masa.
Tenga en cuenta que la escala de gravedad de Newton de la constante G , o, de manera equivalente, la masa de Planck sólo entrar en el acoplamiento de esta onda o partícula de la materia (y de energía) y no en la libre propagación en el espacio, en este campo débil régimen, por lo que desacopla aquí.
Me gustaría añadir a Cosmos Zachos la Respuesta; pero en primer lugar, uno puede encontrar una gran cantidad más de detalle acerca de la derivación de la ecuación de onda para el campo débil de las ondas gravitacionales que se da en el Cosmos del resumen en el Capítulo 9 "la Radiación Gravitatoria" del libro "Un Primer Curso de teoría General de la Relatividad" por Berhard Schutz.
Cosmos la respuesta es correcta, pero me gustaría señalar que hay un sentido en el cual GTR es construido desde el principio para tener una onda gravitacional de la velocidad de propagación de $c$, y también se puede pensar de las ecuaciones de Maxwell en la misma dirección. Es decir, sus velocidades de propagación de la onda de ambos por igual se derivan de los pensamientos y de los postulados elaborados en la teoría especial de la relatividad (o al menos uno puede hacer de este postulado teórico y, hasta ahora, testigo de los resultados experimentales consistentes con él).
La razón por la que el débil campo de análisis en el Cosmos de la respuesta / Schutz capítulo 9 de los rendimientos de un D'Alembertian con una velocidad de la onda de $c$ es que, desde el principio, la Relatividad General se postula para ser codificado como ecuaciones de campo de restringir el tensor de Ricci parte (es decir, la variación de volumen de codificación de parte) del tensor de curvatura en un colector que es localmente de Lorenz. El "local de Lorenz" bit es la cubierta, aquí: para cada observador hay un momentáneamente co-movimiento inercial marco en el cual la métrica en el observador del espacio-tiempo de la posición es, precisamente, $\mathrm{d} \tau^2 = c^2\,\mathrm{d} t^2 - \mathrm{d}x^2-\mathrm{d}y^2-\mathrm{d}z^2$ cuando se utilice un ortonormales base para el espacio de la tangente en el punto de Riemann normal de coordenadas. Por supuesto, no toda la teoría que se lleva a cabo en un local de Lorenz colector tiene que ceder una ecuación de onda, pero el débil campo vacío Einstein ecuaciones tienen una estructura que se obtiene esta ecuación, como en el Cosmos de la respuesta. El hecho de que la constante en la ecuación es $c$ imita a la derecha de nuevo a los locales de Lorenz personaje de la escena (el colector) de nuestra descripción teórica.
Uno puede pensar de las ecuaciones de Maxwell exactamente de la misma manera, y hay varias maneras de ir sobre esto. Pero una vez que postular que las ecuaciones de Maxwell son covariante Lorentz, la constante en la ecuación de onda que surge de ellas tiene que ser $c$. Se puede comenzar con la fuerza de Lorentz que la ley y el postulado de que el lineal mapa de $v^\mu \mapsto q\,F^\mu_\nu\,v^\nu$ que los rendimientos de las cuatro de la fuerza a partir de las cuatro de la velocidad de una partícula cargada que actuó en el campo electromagnético $F$ es una mezcla de tensor. Ahora tome de Gauss la ley de magnetismo $\nabla\cdot B=0$ y el postulado de que es cierto para todos los observadores inerciales. A partir de este postulado, se deriva $\mathrm{d} F=0$ si $F$ efectivamente, la transformación de un tensor. Hacer lo mismo para la de Gauss la ley de electricidad $\nabla\cdot E=0$ en espacio libre y se derivan $\mathrm{d} \star F = 0$. A partir de estas dos ecuaciones y de Poincaré del lema llegamos $\mathrm{d}\star \mathrm{d} A=0$, que contiene la ecuación de D'Alembert (con una sola forma $A$ existente tal que $\mathrm{d} A=F$, que es donde Poincaré del lexema está implementado). Y, a partir de la covariancia Lorentz postulado al principio, la wavespeed en este D'Alembert ecuación tiene que ser $c$.
Así que, en resumen, el hecho de que el wavespeed es exactamente el mismo para ambas teorías surge porque tienen un común "fuente" de la teoría, es decir, la relatividad especial como el punto de comienzo de dónde provienen.
El OP tiene probablemente ya se dio cuenta de esto, pero, por el bien de otros lectores, en realidad sólo hay una electromagnético constante como sólo hay una constante gravitacional $G$; SI corrige $\mu_0=4\,\pi\times 10^{-7}{\rm H\,m^{-1}}$ y, a continuación, el valor de $\epsilon_0$ está totalmente determinado a partir de la definición de la distancia y el tiempo a través de las unidades de $\epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0\,c^2}$. Esta una definición de las correcciones de todos nuestros electromagnética unidades; en particular, se corrige la definición de coulomb. Como en el Cosmos de la respuesta, $\epsilon_0$ no entra en la ecuación de onda como $G$ no entra en la onda gravitacional ecuación de D'Alembert y $\epsilon_0$ sólo es directamente relevante cuando las ecuaciones de Maxwell describen el acoplamiento del campo de vectores a cargo.
