Para gases clásicas ideal, en términos de los niveles de energía ¿por qué ignoramos si las partículas son fermiones o bosones?

Question

Estoy confundido en cuanto a por qué cuando se trata con el ideal clásico de los gases, la dependencia de las partículas de ser fermiones o bosones es ignorado. Cómo se relaciona esto con los niveles de energía dentro del sistema?

Pensé que tenía algo que ver con el hecho de que el ideal clásico de gases a temperaturas donde la energía térmica kT es mucho mayor que el espaciado entre los niveles de energía, pero no estoy del todo seguro si esta es la manera correcta que debo estar pensando.

Cualquier conocimiento para hacer de mí un poco menos ignorante en la materia será muy apreciada.

Answer 1

Porque tanto la de Fermi-Dirac de distribución y la de Bose-Einstein de distribución se aproxima bien por la de Maxwell-Boltzmann distribución en el límite de baja densidad. Básicamente, la idea subyacente en el gas ideal es que la densidad del gas es lo suficientemente bajo como para que los choques no son un factor importante en la descripción de la dinámica de los gases, lo que nos permite ir de la termodinámica de la distribución de partículas de 1 para el gas. Cuando la densidad comienza a convertirse en alto, la primera corrección es generalmente descrito por la de Van der Waals la ecuación. A medida que disminuye la temperatura o la densidad va más allá, tiene que empezar a preocuparse sobre el Bosón/Fermión distinción.

Más precisamente, no se trata de $kT$ en comparación con el nivel de energía de espaciado, en comparación con el potencial químico. En detalle, el $kT$ suficientemente alto como para que \begin{align} \mathrm{BE}(E) & = \frac{1}{\operatorname{e}^{(E-\mu)/kT}-1} \mathrm{\ and} \\ \mathrm{FD}(E) & = \frac{1}{\operatorname{e}^{(E-\mu)/kT}+1} \end{align} están adecuadamente aproximar por \begin{align} \mathrm{MB}(E) & = \operatorname{e}^{-E/kT}. \end{align}

Tenga en cuenta que la aproximación es sólo "buena" en el extremo inferior ( $E<kT$ )$\mu<0$.

Para Fermiones, el potencial químico es la energía de Fermi o mayor, la cual es controlada por la densidad de las partículas. Estoy teniendo problemas para encontrar una referencia para saber cómo encontrar el potencial químico para la de Bose-Einstein de distribución. ResearchGate hosts de una parcela de la potencial químico de Heliums 3 y 4 a baja temperatura ($\mu/k$ es de alrededor de $-2$ $-7$ Kelvin para ellos, respectivamente).

Answer 2

Otra forma de verlo es que la distancia entre átomos es grande en comparación con su longitud de onda de Broglie. Luego lo hace el bot importa que uno debe utilizar estadísticas de partículas indistinguibles - en principio todavía sería posible seguir una partícula más de la época.

Answer 3

Ya hay buenas respuestas; sólo voy a añadir otra forma de ver esto. Deje $n$ el número de partículas en un determinado estado cuántico. El uso de Maxwell-Boltzmann estadísticas, se puede calcular una distribución de probabilidad $p_{\text{MB}}(n)$.

Fermiones de modificar esta distribución por prohibir más de una partícula en el mismo estado, $$p_{\text{Fermi}}(2) = p _{\text{Fermi}}(3) = \ldots = 0.$$ Bosones modificar esta distribución por prefiriendo 'grumos', es decir, que uno tiende a ver a los grupos de bosones en el mismo estado, $$p_{\text{Bose}}(2) \gtrsim p_{\text{MB}}(2), \quad p_{\text{Bose}}(3) \gtrsim p_{\text{MB}}(3), \ldots$$ En todos los casos, el promedio de $\langle n \rangle$ es el mismo, ya que hay el mismo número total de partículas.

El límite en donde todas estas distribuciones son de la misma es el de baja densidad límite de $\langle n \rangle \ll 1$. En este caso, la inmensa mayoría de la probabilidad se concentra en $p(0)$ con un poco de $p(1)$. Las modificaciones que el Fermi y Bose distribuciones de hacer a $p(2)$ o más son insignificantes.

Ya que no hay un estado cuántico para cada constante de Planck del espacio de fase de la zona, $\langle n \rangle \ll 1$ es equivalente a $$(\text{typical momentum})(\text{typical distance between neighboring particles}) \gg h.$$ Como ya se mencionó, esto es equivalente a decir que las partículas están separadas por una distancia mucho mayor que su longitud de onda de de Broglie.

Answer 4

Gas ideal clásico es la aproximación que el número de Estados de energía es muy grande. (g >> n) Así que las partículas no compiten para ocupar el mismo estado de energía. En realidad, ignoramos porque este caso (partículas con el mismo estado) es muy poco probable.

Y si algunos Estados no es bastante grande, entonces debemos tener en cuenta las estadísticas cuánticas.