Valores mínimos de la secuencia $\{n\sqrt{2}\}$

Question

He estado estudiando la secuencia de $$\{n\sqrt{2}\}$$ donde $\{x\}:= x-\lfloor x\rfloor$ es la "fracción" de la función. Estoy particularmente interesado en los valores de $n$ que $\{n\sqrt{2}\}$ tiene un valor sumamente pequeño, es decir, cuando se $n\sqrt 2$ está muy cerca (pero mayor que) su entero más cercano. Por supuesto, para un entero $n$, esto siempre toma valores entre (pero nunca incluidos) $0$$1$.

He definido la secuencia de $M_n$ como sigue:

• $M_1=1$
• $M_{n+1}$ es el menor entero positivo tal que $\{M_{n+1}\sqrt 2\}\lt \{M_n\sqrt 2\}$

Los primeros términos de esta sucesión son $$1,3,5,17,29,99,169,...$$ Y después de un rápido viaje a la OEIS, he encontrado que esta secuencia es igual a OEIS entrada A079496, como está escrito en los comentarios. También proporciona la recurrencia $$a_0=a_1=1$$ $$a_{2n+1}=2a_{2n}-a_{2n-1}$$ $$a_{2n}=4a_{2n-1}-a_{2n-2}$$ ¿Cómo puedo demostrar que la secuencia de $M_n$ satisface esta recurrencia, utilizando la definición que escribí para $M_n$?

Gracias!

EDIT: Aquí está el cerrado de forma explícita fórmula para $a_n$, para cualquier persona que quiere saber: $$a_{2n}=\frac{(3+2\sqrt 2)^n+(3-2\sqrt 2)^n}{2}$$ $$a_{2n+1}=\frac{(1+\sqrt 2)(3+2\sqrt 2)^n-(1-\sqrt 2)(3-2\sqrt 2)^n}{2\sqrt 2}$$

Answer 1

Esto es acerca de la Pell tipo de ecuaciones. Absolutamente todo detalle sería un poco largo. He publicado muchas veces acerca de la solución de $x^2 - n y^2 = T,$ donde $T$ es algunos de destino número y $n$ es positivo no cuadrado.

Su secuencia es la siguiente: dado un número entero positivo $x,$ deje $v = \lfloor x \sqrt 2 \rfloor.$ Sus números serán $$ 2 x^2 - v^2 \in \{ 1,2 \}. $$

Además, los coeficientes de términos consecutivos están delimitadas: si $w$ es un número con peor $2 w^2 - w_0^2,$ donde $w_0 = \lfloor w \sqrt 2 \rfloor,$ entonces no es uno de sus números de $t$ $t > w/(2 + \sqrt 2).$

Bien, los valores positivos de la $2x^2 - y^2$ $1,2,4,7,8,9, 14 \ldots$ donde estamos permitiendo que los factores comunes de $x,y.$

Si $2x^2 - v^2 = 4,$, en tanto $x,v$ son incluso, podemos tomar $t = x/2,$ y la parte fraccionaria de $t \sqrt 2$ es la mitad de la parte fraccionaria de $x \sqrt 2,$ significado $x$ no puede ser parte de su $M$ de la secuencia. Ahora que lo pienso, lo mismo se aplica a cualquier número divisible por $4$ o $9.$ Como resultado de ello, si calculamos el $2x^2 - v^2 = 7$ como un caso especial (sabemos cómo encontrar todas las representaciones), podemos entonces continuar con $2 x^2 - v^2 \geq 14.$

Parece que necesitamos solo un caso especial. Después de esto, podemos tomar $$ 2 x^2 - v^2 \geq 7, $$ con $$ \{ x \sqrt 2 \} \geq \frac{7}{x \sqrt 2 + v} \approx \frac{7}{2x \sqrt 2 }\approx \frac{2.4748737}{x } . $$ $$ t > \frac{x}{2 + \sqrt 2}, $$ $$ 2 t^2 - w^2 \in \{ 1,2 \}. $$ $$ (t \sqrt 2 - w)(t \sqrt 2 + w) \leq 2. $$ $$ t \sqrt 2 - w \leq \frac{2}{t \sqrt 2 + w}. $$ $$ \{ t \sqrt 2 \} \leq \frac{2}{t \sqrt 2 + w} \approx \frac{2}{2t \sqrt 2 } \approx \frac{1}{t \sqrt 2 } < \frac{2 + \sqrt 2}{x \sqrt 2 } = \frac{1 + \sqrt 2}{x } \approx \frac{2.1421356}{x } . $$ Esto es menor que $$ \{ x \sqrt 2 \} \geq \frac{7}{x \sqrt 2 + v} \approx \frac{7}{2x \sqrt 2 }\approx \frac{2.4748737}{x } . $$

Un análisis más profundo es posible, términos de corrección de todo, pero el corazón es la observación de que el piso de $t \sqrt 2$ está muy cerca de la real número en sí, al $0 < 2t^2 - w^2 \leq 2$.

Aquí está el Conway topograph por la negativa de su forma, $x^2 - 2 y^2.$ Sus números muestran que representa un número negativo, (4,3) da $-2$, entonces (7,5) da $-1,$ (24,17) dar $-2,$ (41,29) da $-1$

Vamos a ver, que tendrá una hora o así, pero puedo dibujar un topograph para $2x^2 - v^2$ que muestra los números representados a a $17,$ como números como $4,8,9$ no squarefree, y no son primitivamente a la que representa (llegamos $\gcd(x,v) \neq 1$). Voluntad, 9:19, hora del Pacífico

Hecho. Tenga en cuenta que el verde de los pares de coordenadas tiene un movimiento que da el mismo valor de $2x^2 - y^2,$ es decir $$ (x,y) \mapsto (3x+2y, 4x+3y). $$ For example, $ (1,1) \mapsto (5, 7 ) $ and $ (3,4) \mapsto (17, 24 ). $

Vamos a ver, de Cayley Hamilton para la matriz de coeficientes $$ \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right) $$ da la recurrencia lineal, $$x_{n+4} = 6 x_{n+2} - x_n $$ si combinamos la $x$ valores en una sola lista. Necesitamos separar impar índice y aún índice, ya que estamos combinando $2x^2-v^2 = 1$ $2x^2 - v^2 = 2$ en una lista de $x$ valores

Hay un libro que Allen Hatcher pone a disposición en línea, aquí es su diagrama de $x^2 - 2 y^2,$ pero sin el verde de las coordenadas que me gustaría incluir. El topograph diagrama fue introducido por J. H. Conway

Answer 2

Continuó Fracción Aproximaciones

La continuación de la fracción de $\sqrt2$ es $$ \sqrt2=1+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\cfrac1{2+\dots}}}\tag1 $$ El approximants alternar entre un poco demasiado alto y un poco bajo, pero siempre tenemos $$ \left|\,\frac{p_n}{q_n}-\sqrt2\,\right|\le\frac1{2q_n^2}\tag2 $$ debido a la continuación de la fracción, se han $$ p_n=2p_{n-1}+p_{n-2}\quad\text{y}\quad q_n=2q_{n-1}+q_{n-2}\tag3 $$ comenzando con $\frac11$ (bajo) y $\frac32$ (alta). La primera de varias continuó fracción approximants son $$ \frac11,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\dots\tag4 $$

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Baja Aproximaciones

Queremos elegir las aproximaciones que son un poco baja, de modo que $q_n\sqrt2\gt p_n$. Entonces $$ \left\{q_n\sqrt2\right\}=q_n\sqrt2-p_n\le\frac1{2q_n}\tag5 $$ Ya sólo nos interesa la baja aproximaciones, necesitamos modificar la recursividad en $(3)$ saltar la alta aproximaciones. Para ello, se han $$ p_n=6p_{n-2}-p_{n-4}\quad\text{y}\quad q_n=6q_{n-2}-q_{n-4}\tag6 $$ comenzando con $\frac11$$\frac75$. La primera bajo continuo fracción aproximaciones son $$ \frac11,\frac75,\frac{41}{29},\frac{239}{169},\frac{1393}{985},\dots\tag7 $$ También podemos hacer algunas cerrar baja aproximaciones buscando al doble de los recíprocos de los altos aproximaciones. Estos se siga la recursividad en $(6)$: $$ \frac43,\frac{24}{17},\frac{140}{99},\frac{816}{577},\dots\tag8 $$ Los denominadores de estas dos secuencias, que siga la recursividad en $(6)$, cubrir todos los elementos de las secuencias en la pregunta.

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Combinados De La Secuencia

La combinación de secuencia de la siguiente manera la recursividad $$ a_n=6a_{n-2}-a_{n-4} $$ y comienza $$ 1,3,5,17,\dots $$