Fórmula de la longitud del arco para la lemniscata

Question

Esta pregunta puede ser tarea para cálculo elemental.

La lemniscata de Bernoulli $C$ es una curva en el plano definida de la siguiente manera.

Sea $a > 0$ un número real. Sean $F_1 = (a, 0)$ y $F_2 = (-a, 0)$ dos puntos de $\mathbb{R}^2$.

Sea $C = \{P \in \mathbb{R}^2; PF_1\cdot PF_2 = a^2\}$.

Obtengamos la ecuación de $C$ en coordenadas polares.

Sea $P = (r\cos\theta, r\sin\theta)$:

$$PF_1^2 = r^2 + a^2 - 2ar\cos\theta, PF_2^2 = r^2 + a^2 + 2ar\cos\theta$$ Por lo tanto: $$(r^2 + a^2 - 2ar\cos\theta)(r^2 + a^2 + 2ar\cos\theta) = (r^2 + a^2)^2 - 4a^2r^2\cos^2\theta = a^4$$ $$r^4 + 2r^2a^2 + a^4 - 4a^2r^2\cos^2\theta = a^4$$ $$r^2 = 2a^2(2\cos^2\theta - 1) = 2a^2\cos 2\theta$$

Supongamos que $P \in C$ está en el primer cuadrante. Sea $s$ la longitud del arco entre $O = (0, 0)$ y $P$.

Luego, ¿cómo podemos expresar $s$ en términos de $r$ usando una integral?

Esta es una pregunta relacionada.

Answer 1

Por la fórmula de la longitud del arco en coordenadas polares,

$s = \int_{0}^{\theta}\sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$

Dado que $d\theta = \frac{d\theta}{dr}dr$,

$s = \int_{0}^{r}\sqrt{r^2 + (\frac{d\theta}{dr})^{-2}} \frac{d\theta}{dr}dr$

Entonces $s = \int_{0}^{r}\sqrt{1 + r^2(\frac{d\theta}{dr})^2} dr$

Dado que $r = a\sqrt{2\cos 2\theta}$,

$\frac{dr}{d\theta} = -\frac{2a\sin 2\theta}{\sqrt{2\cos 2\theta}}$

Entonces $\frac{d\theta}{dr} = -\frac{\sqrt{2\cos 2\theta}}{2a\sin 2\theta}$

$(\frac{d\theta}{dr})^2 = \frac{\cos 2\theta}{2a^2\sin^2 2\theta}$

$\cos 2\theta = \frac{r^2}{2a^2}$

$\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta = \frac{4a^4 - r^4}{4a^4}$

Entonces $(\frac{d\theta}{dr})^2 = \frac{r^2}{4a^4 - r^4}$

Por lo tanto $s = \int_{0}^{r}\sqrt{\frac{4a^4}{4a^4 - r^4}}dr = \int_{0}^{r}\frac{2a^2}{\sqrt{4a^4 - r^4}}dr$