Cómo demostrar que una función es la transformada de Fourier de otro $L^{1}$ función?

Question

Si $m(\xi)$ satisface $$D^{\alpha}m(\xi)\leq \frac{C}{(1+|\xi|)^{|\alpha|+1}}$$ a continuación, se $m$ una transformada de Fourier de una $L^{1}$ función? (Tenga en cuenta que el teorema de Bernstein no se puede aplicar aquí, ya $m(\xi)$ no puede ser en $H^{s}$ donde $s>\frac{n}{2}$.)

En general, hay algunas maneras simples para asegurarse de que una función dada pertenece a $\mathcal{F}L^{1}$?

Answer 1

Hay un conocido de la clase de funciones conocidas como Schwartz clase. En esta clase, las funciones que tienen la propiedad de que ellos y sus derivados tiende a cero, como se $|x|\rightarrow \infty $, más rápido que cualquier potencia positiva de $x^{-1}$, o en otras palabras, supongamos que para cada entero positivo $N$$n$, $$ \lim_{|x|\rightarrow \infty} x^N g^{(n)}(x) = 0\,. $$

También, este tipo de funciones son conocidas como buenas funciones. Por ejemplo, $ x^m {\rm e}^{-x^2} $ es una buena función. Una de las propiedades de estas funciones es

$$ |f(x)| < C \frac{1}{(1+|x|)^m} $$ para cualquier $m \in N \,.$

Este espacio de funciones desempeña una regla importante en el análisis de Fourier, ya que la transformada de Fourier de una buena función está bien definida (puede utilizar la anterior propiedad para mostrar este) y es una buena función.