Evitar la coincidencia primer dígito de $a^n$ $b^n$

Question

Para cualquier pares de enteros positivos $a$$b$, es posible que el primer dígito de $a^n$ nunca coincide con el primer dígito de $b^n$ para cualquier entero positivo $n$?

(Si $a=2$ $b=5$ la única posible coincidencia primer dígito es "3".)

Edit: quise decir $a=2$ en el paréntesis comentario anterior. Yo había escrito anteriormente $a=3$, que no funciona como varios comentarios indican.

Answer 1

Yo también estaba pensando lo largo de las líneas de Ross Millikan comentario. El primer dígito (en base 10) de $a^n$ está determinado por la parte fraccionaria de $\log_{10}(a)$; en concreto, el intervalo de $[0,1]$ se reparte en cubos $[0,\log_{10}(2)), [\log_{10}(2), \log_{10}(3))$, etc. El primer dígito de $a^n$ $b^n$ sería el mismo de $n\log(a)$ $n\log(b)$ caen en el mismo cubo, que seguiría a la parte fraccionaria de $m\log(a/b)$ más pequeño que el más pequeño cubo para algunos $m$, lo que significa, o $m$ o $m+1$ haría el truco.

Ahora $\log_{10}(a/b)$ es irracional, excepto si $a/b$ es una potencia de 10, pero en el último caso, el resultado es obvio. Para un irracional cantidad, las partes fraccionarias son densos en la unidad de intervalo y el resultado se sigue de las consideraciones anteriores.

Answer 2

No voy a responder a la pregunta, sino que justifican el reclamo en la última frase de la pregunta: cuando $a=2$ $b=5$ la única compartida primer dígito de $a^n$ $b^n$ es de 3.

Supongamos $2^n$ $5^n$ compartir primer dígito $d$ $r+1$ $s+1$ dígitos, resp. Para $n>3$ tenemos $d10^r < 2^n < (d+1)10^r$$d10^s < 5^n < (d+1)10^s$. Por lo tanto,$d^2 10^{r+s} < 10^n < (d+1)^2 10^{r+s}$$d^2 < 10^{n-r-s} < (d+1)^2$. Desde $d$ es de un dígito, $d \geq 1$$(d+1) \leq 10$; estas restricciones de la fuerza de $n-r-s = 1$, lo $d^2 < 10 < (d+1)^2$ lo que significa que sólo $d=3$ obras. Y desde $2^5 = 32$ $5^5 = 3125$ lo hace de hecho se producen como primer dígito.