Función piso de potencias de $2$

Question

¿Existe alguna manera de conocer el valor exacto de

$$\left(\left\lfloor 2^{\frac{n}{2}} \right\rfloor\right)^2$$

para $n$ un número entero $n>0$?

Cuando $n$ es par, la solución es trivial, ya que no tenemos que enfrentar ninguna parte fraccionaria. Por otro lado, para $n$ un número impar, parece difícil obtener el valor exacto.

Podríamos intentar obtener una aproximación, pero usar $\lfloor x \rfloor = x + O(1)$ da un resultado bastante inexacto.

¿Alguna idea?

Editar: ¿Sería posible obtenerlo si conociéramos el valor de $$\left(\left\lfloor 2^{\frac{n}{2}-1} \right\rfloor\right)^2$$

? (Una fórmula recursiva)

Answer 1

Usando la identidad: $$\lfloor x\rfloor =x-\frac{1}{2}+\frac{\sum _{k=1}^{\infty } \frac{\sin (2 k \pi x)}{k}}{\pi }$$

Resolver la suma, sustituir x=2^(n/2) y elevar al cuadrado tenemos:

$$\left\lfloor 2^{n/2}\right\rfloor ^2=\frac{\left(\left(-1+2^{1+\frac{n}{2}}\right) \pi -i \log \left(1-e^{-i 2^{1+\frac{n}{2}} \pi }\right)+i \log \left(1-e^{i 2^{1+\frac{n}{2}} \pi }\right)\right)^2}{4 \pi ^2} = 1/4\,{\frac { \left( {2}^{1+n/2}\pi-2\,{\rm arccot} \left(\cot \left( \pi\,{2}^{n/2} \right) \right) \right) ^{2}}{{\pi}^{2}}} $$ y: $$\left\lfloor 2^{\frac{n}{2}-1}\right\rfloor ^2=\frac{\left(\left(-1+2^{n/2}\right) \pi -i \log \left(1-e^{-i 2^{n/2} \pi }\right)+i \log \left(1-e^{i 2^{n/2} \pi }\right)\right)^2}{4 \pi ^2} = 1/4\,{\frac {1}{{\pi}^{2}} \left( \pi\,{2}^{n/2}-\pi-2\,\arctan \left( {\frac {\sin \left( \pi\,{2}^{n/2} \right) }{-1+\cos \left( \pi\,{2}^{n/2} \right) }} \right) \right) ^{2}} $$