la secuencia y de la serie (análisis complejo)

Question

Deje $N_0\in \mathbb{N}.$ Si una secuencia de números complejos $\{F_N\}_{N \in \mathbb{N}}$ tiene las siguientes propiedades: $$\lim_{N \rightarrow \infty} |F_N|^{1/N}=0$$ and for all $N \geq N_0$, $$|F_N|\leq \sum_{k=N+1}^{\infty} |F_k|,\quad \quad \quad $$ entonces existe $N_1\in \mathbb{N}$ tal que $F_N=0$ todos los $N \geq N_1.$

He encontrado este argumento en un papel, pero no puedo demostrarlo. Podría por favor ayudarme o darme una idea? Gracias.

Masik

Answer 1

Por comodidad vamos a decir $F_n \geq 0$ todos los $n$. Usted puede calcular que si $a < \frac{1}{2}$$a^N > \sum_{n=N+1}^\infty a^n$. Desde $F_n$ va a $0$ más rápido que $2^{-n}$ sería de esperar que $$F_N > \sum_{n=N+1}^\infty F_n$$ for large $N$ unless perhaps $F_n$ is eventually $0$. Vamos a tratar de hacer de este riguroso.

Desde $F_n^{1/n} \rightarrow 0$, para cada una de las $\epsilon >0$ hay un $M$, de modo que $F_n < \epsilon^n$$n > M$. Para cada una de las $\epsilon$, vamos a $M_\epsilon$ ser el más pequeño tal $M$. Por lo tanto si $M_\epsilon > 1$, así que hay al menos un $n$$F_n \geq \epsilon^n$, $F_{M_\epsilon} \geq \epsilon^{M_\epsilon}$ pero $F_n < \epsilon^n$$n > M_\epsilon$.

Ahora supongamos que $F_n$ no es, finalmente,$0$. A continuación, para cada $N$ hay algo de $n>N$$F_n >0$; en particular, el establecimiento de $\epsilon = F_n$ vemos que $M_\epsilon > N$. Esto nos dice que $M_\epsilon \rightarrow \infty$$\epsilon \rightarrow 0$.

Ahora elija $0 < \epsilon < \frac{1}{2}$, de modo que $M_\epsilon > N_0$. Entonces tenemos

\begin{align*} \epsilon^{M_\epsilon} \leq F_{M_\epsilon} \leq\sum_{n= M_\epsilon +1}^\infty F_n < \sum_{n= M_\epsilon +1}^\infty \epsilon^n = \epsilon^{M_\epsilon}\frac{\epsilon}{1-\epsilon} < \epsilon^{M_\epsilon} \end{align*} una contradicción.

Answer 2

Esta puede ser otra forma de hacerlo.

Así que, dado que todas las condiciones, no existe $M$ tal que $\forall N\ge M, |F_N|^{1/N}<1/3,$ $|F_N|\le\sum_{k=N+1}^\infty|F_k|,$ afirmo que para los $N$s, $|F_N|\le(1/2)^n(1/3)^N$ para cualquier entero no negativo,$n$. A continuación, dejando $n$ enfoques $\infty,$ realidad nos fuerza a $|F_N|=0.$ Para demostrar que el reclamo, hacemos inducción sobre $n.$ Al $n=0,$ sigue inmediatamente de $|F_N|^{1/N}<1/3.$ En general, por hipótesis de inducción

$$|F_N|\le\sum_{k=N+1}^\infty|F_k|\le\sum_{k=N+1}^{\infty}(1/2)^n(1/3)^k=(1/2)^{n+1}(1/3)^N$$