Deje $a,b,c$ enteros positivos tales que a $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right) = 3$. Encontrar los triples.

Question

Pregunta: Vamos a $a$,$b$,$c$ tres positivos enteros tales que $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right) = 3$. Encontrar los triples.

Esto es en realidad una competencia nacional pregunta en Vietnam (Violympic), que he asistido (y lo hizo mal, pero había un montón de diversión).

He entendido casi todas las preguntas que día, pero esto realmente hace que mi cabeza de pop, porque no he de aprender mucho sobre el entero de la solución de la ecuación y cómo resolver los casos difíciles (como que uno)

He resuelto que a,b,c no pueden ser todos iguales, porque: $a = b = c⟹(1+\frac {1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})=(1+\frac{1}{un})^3=3⟺1+ \frac{1}{a}=\sqrt[3]{3}⟺\frac{1}{a}=\sqrt[3]{3}-1⟺a=b=c= \frac{1}{(\sqrt[3]{3}-1)}$

Y el uso de wolframalpha.comme enteré de que $(a,b,c) \in \{(1,3,8),(1,4,5),(2,2,3)\}$, pero atrapado en cómo resolverlo.

Gracias de antemano por la comprobación hacia fuera. Realmente aprecio su esfuerzo.

Answer 1

Supongamos $a\geq 3$, luego $$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\leq\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=\frac{64}{27}<3$$ (tenga en cuenta que $a\leq b\leq c$), una contradicción. Por lo tanto $a=1,2$.

Si $a=1$, que viene a resolver $(1+1/b)(1+1/c)=3/2$. El mismo truco de la muestra $b<5$. Ahora uno puede simplemente una lista de todos los posibles valores de $b$.
El caso de $a=2$ puede ser resuelto de una forma similar.

Answer 2

Fácil. Conjunto $ a=2 $ , $ c=3 $ y ver si usted puede encontrar $ b. $ consigue

$$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{b})=3.$$ By solving you get $ b=2. $