$AB=BA$ implica $AB^T=B^TA$.

Question

Estoy buscando una escuela primaria de la prueba (si existe) de la siguiente: $$ AB=BA \quad\Longrightarrow\quad AB^T=B^TA, $$ donde $A$ $B$ $n\times n$ real de las matrices, y $A$ es normal en la matriz, es decir, $AA^T=A^TA$ - es cierto para matrices complejas así, con $A^T$ reemplazado por $A^*$.

Hay un no-elemental prueba de este uso de la exponencial de una matriz y las propiedades de la totalidad de las funciones.

La actualización. En la primera versión de la pregunta, $A$ $B$ debían ser normal, pero como Shlomi señalado correctamente, esto es cierto incluso en el caso de que sólo uno de ellos es normal.

Answer 1

No estoy seguro de si esto califica como "elemental", pero aquí es una manera:

Tenga en cuenta que $A$ $B$ formulario de trayecto de la familia de matrices, por lo que el $A$ $B$ son simultáneamente superior triangularizable. Es decir, hay algunos unitario $U$ tal que $U^*AU$ $U^*BU$ son tanto triangular superior.

Tenga en cuenta que $U^*AU$ $U^*B U$ son normales y superior triangular, lo que significa que están en diagonal. Es decir, hemos $$ A = U\pmatrix{ \lambda_1 & &\\ &\ddots&\\ &&\lambda_n}U^* \quad B = U\pmatrix{ \mu_1 & &\\ &\ddots&\\ &&\mu_n}U^* $$ A partir de aquí, es fácil comprobar que $AB^* = B^*A$.

Answer 2

La prueba cuando uno de ellos es normal:

Se asume que sólo se $A$ es normal. Así, existe una matriz ortogonal $P$ tal forma que:

$A=P^*DP$ donde $D$ es una matriz diagonal. Vamos a demostrar que no es un polinomio $q$, tal que: $q(D)=D^*$. La verdad, es que es la verdad de la interpolación polinomial. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que: $q(A)=A^*$. Desde $AB=BA$ podemos demostrar que $q(A)B=Bq(A)$. Por lo tanto, $A^TB=BA^T$ y hemos terminado.