¿Cómo son los semántica completa de SOL y HOL especificado?

Question

En relación a esta pregunta acerca de la "fundamental" el carácter de los posibles sistemas lógicos, me di cuenta de que yo sólo tenía una intuitiva (y por lo tanto, inadecuado) la comprensión de la forma en que la lógica superior FOL puede inequívocamente especificar el tipo de semántica que componen la intención de la interpretación de sus formalismos, dentro de los formalismos propios. Esto es bastante significativo pregunta, ya que la capacidad de un sistema automatizado de razonamiento en el objeto-el nivel de idioma, sólo puede reconocer lo que está codificado en el formalismo de la misma, en ese nivel; y así, los enfoques que se inicie a partir de la construcción de un modelo en el meta-nivel, son a priori descartado en el sentido de que estoy describiendo aquí.

Lo que estoy pensando son sistemas informáticos razonar con la lógica, como en el HOL-basado en la prueba de asistentes, como Isabelle.

Así que, ¿cómo la intención semántica de SOL y HOL especificado en un sistema informático?

P. S. : me he dado cuenta de que este tema no es realmente nuevo en este sitio, y ha sido puesto en otros temas como este.

Answer 1

Hasta donde yo soy consciente, equipo de prueba de los sistemas no se preocupan por la semántica . Su tarea es construir y verificación formal de las pruebas de que siga la syntacical reglas de lo que constituye un válido derivación, y es entonces para el usuario humano, para convencerse de que el sistema formal corresponde a su intuición acerca de la semántica.

(Bueno, alguna prueba asistentes se preocupan acerca de la semántica de algunos de la época, como si contienen cálculo basado en procedimientos de toma de decisiones de teorías específicas, tales como ordenó campos o la aritmética de Presburger. Pero luego, dependiendo del nivel de paranoia utilizado en el desarrollo, el papel de estos semántica subpartes partes es por lo general sólo para sugerir un sintáctica prueba de que puede ser verificada de forma independiente).

Answer 2

Desde el punto de vista de derivability y la sintaxis, no hay ninguna distinción entre los de mayor orden de la semántica y de primer orden (Henkin) semántica. Esto es, en un sentido, la razón de que no hay ningún teorema de completitud para la semántica completa - porque la integridad teorema de los partidos derivability con la semántica de Henkin, por lo que cualquier genuinamente diferentes semántica no coinciden con derivability. Sintáctica cosas como la prueba de los asistentes, que sólo se preocupan por derivability, son algo indiferentes a la semántica de los problemas.

Yo creo que el principal beneficio del uso de la lógica de orden superior en la prueba de los asistentes es que se hace más fácil para formalizar teoremas que han sido probados en los ordinarios de las matemáticas. Incluso si estos teoremas se podría formalizar en, digamos, la aritmética de Peano, mediante la creación enteramente nuevas pruebas, a menudo es más fácil modificar la prueba existente para trabajar en la lógica de orden superior.

Answer 3

Quiero aclarar algo: HOL no es meramente multi-ordenados FOL

La diferencia clave está en los dos sistemas de expresividad. FOL no puede expresar cierre transitivo. Aquí es una buena nota explicando por qué. Por otro lado, HOL puede expresar cierre transitivo. Aquí está el código fuente de Isabelle/HOL de la aplicación si usted está interesado.

EDIT 1: tenga en cuenta la advertencia en los comentarios: FOL extendido con ZF o maquinaria de la aritmética puede expresar cierre transitivo. Que no extendido de cálculo puede hacer que este no es el reclamo que estoy haciendo aquí, sin embargo.

EDIT 2: de la misma manera, es inadecuado ciegamente hacer uso de la intuición a partir de la semántica de Henkin por su alto orden de la lógica, como a su aplicación basada en la computadora HOLs es no hacia adelante. Para una cosa, prueba asistentes se basan fuera de la Iglesia HOL, que es anterior a la Henkin del trabajo y tiene sus propias peculiaridades. La semántica de la Iglesia HOL puede darse aplicativo estructuras, como por Harvey Friedman (1975) y la posterior papeles.

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[H]ow son la intención de la semántica de SOL y HOL especificado en un equipo sistema?

Realmente no se puede especificar la semántica, como otros han señalado, pero hay diferentes maneras en que $x \in A$ obtiene analiza en la base de la sintaxis.

En Isabelle, usted puede cargar ya sea Isabelle/ZF o Isabelle/HOL. Dependiendo del sistema de carga, $x \in A$ obtiene interpretan de forma diferente.

En Isabelle/ZF, es el significado que aprendió en la clase de teoría de conjuntos: $\in$ es una relación binaria en FOL y obedece a los diferentes axiomas de la teoría de conjuntos.

En Isabelle/HOL, S :: 'x set (es decir, "S es un conjunto de objetos de tipo 'x") es en realidad un contenedor para un objeto de tipo f :: 'x -> bool (es decir, "f es un indicador de la función que tome 'x True/False"). Establecer la comprensión y la pertenencia son efectivamente definido por la equivalencia $a \in \{x \ |\ P(x) \} \iff P(a)$. Usted puede leer sobre él en Isabelle/HOL de la fuente si usted está en ese tipo de cosas.

En tanto Isabelle/ZF y Isabelle/HOL, la sintaxis familiar $\{x \in S\ |\ \phi(x)\}$ es también interpretado como azúcar sintáctico. En ambos casos, es el analizador de la responsabilidad de recopilar la sintaxis extendida en la base de la sintaxis; y cómo se hace varía en función de la fundación.

Por último, mientras que el equipo de prueba de los asistentes no se utiliza, generalmente, para razonar acerca de su propia semántica, no es una excepción. John Harrison desarrollado dos pruebas de consistencia relativa de HOL-Luz dentro de HOL-Luz de aquí.

Él primero se muestra cómo construir un modelo completo de HOL-Luz sin el axioma de infinitud en HOL-Luz. Luego, él se muestra cómo construir un modelo completo de todos los de HOL-Luz en HOL-extendida de Luz con una fuerte inaccesible cardenal.