Para que ortogonal de matrices que la matriz exponencial convergen?

Question

La parte (a)

Para que 2×2 ortogonal de matrices no $\large e^A=I+\frac{A^1}{1!}+\frac{A^2}{2!}+…$ convergen?

Parte(b)

Porque lo que hace que la serie converge a una matriz ortogonal?

Mi trabajo:

Dejar que Un ser de 2x2 y ortogonales. A continuación,$A^tA = AA^t = I$, por lo que esto implica que a es normal. Sobre el campo de tierra = $C$, entonces es ortogonal / unitarily diagonalizable.

Podemos escribir $A=QDQ^*$, donde Q es unitaria y D es la diagonal con los valores propios de a en la diagonal. También, ya que se supone que para ser ortogonal, entonces el módulo de cada autovalor es 1.

Ahora $$e^A=I+\frac{A^1}{1!}+\frac{A^2}{2!}+…$$

$$ e^A=I+\frac{QDQ^*}{1!}+\frac{QD^2Q^*}{2!}+…$$

$$ e^A= Q(I+\frac{D}{1!}+\frac{D^2}{2!}+…)Q^*$$

$$ e^A= Qe^DQ^*$$

Donde $e^D$ está de nuevo en diagonal.

¿Qué puedo decir desde aquí? Sé que las fuentes en línea como Wikipedia y Wolfram estado, sin ninguna prueba o debates prolongados que los de la matriz exponencial está bien definido y converge para cualquier matriz cuadrada. Si esto se afirma como un hecho sin pruebas, parece un poco extraño que estoy trabajando en un planteamiento del problema que se pregunta "para que ortogonal de matrices de 2x2 no $e^A$ convergen". Hay un punto importante que soy vistas? O puede que realmente me acaba de estado que la matriz exponencial converge para cualquier matriz cuadrada A, por lo tanto es bien definido y converge para cualquier 2x2 ortogonal de la matriz A?

Todas las sugerencias y consejos para terminar la parte (a) y cómo empezar en la parte (b) son bienvenidos.

Gracias,

Answer 1

Sé que las fuentes en línea como Wikipedia y Wolfram estado, sin ninguna prueba o debates prolongados que los de la matriz exponencial está bien definido y converge para cualquier matriz cuadrada.

Cada matriz tiene un elemento de tamaño máximo. $($Obviamente, si cualquier cosa puede provocar divergencia, es que uno de los$).~$ Deje que su valor absoluto ser $M.~$ Así que vamos a construir una matriz cuadrada S, en el que cada elemento individual es $M.~$ $S^k=\Big(n^{k-1}M^k\Big)_{n\times n}~,~$ y cada elemento de a $A^k$ se encuentra entre $\pm~n^{k-1}M^k.~$
Pero $~e^S\approx\bigg(\dfrac{e^{nM}}n\bigg)_{n\times n}~,~$, por lo que cada elemento de a $e^A$ es definitivamente delimitada. Sin embargo, incluso en este caso

la divergencia todavía podría ocurrir teóricamente, si al menos un elemento en $($no necesariamente el mismo$)$ fueron libremente oscilar dentro de un rango determinado, sin que en realidad convergente para cualquier valor dentro de ese intervalo. Pero esto no es posible, ya que cada nuevo término de la serie infinita disminuye a un ritmo exponencial, quedando atrapada entre el $\pm~\dfrac{n^{k-1}M^k}{k!}$

Answer 2

El hecho de que la serie de $e^A$ es fácil demostrar el uso de la matriz de normas. En particular, usted debe tratar de probar que la desigualdad $$ \left\|e^A \right\| \leq e^{\|\|} $$ si $\|\cdot\|$ es una norma (como la norma de Frobenius) que satisface $\|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$ para todas las matrices $A,B$.

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Es, de hecho, un conocido resultado de que una matriz $A$ será tal que $e^{tA}$ es ortogonal para cada $t \in \Bbb R$ si y sólo si $A$ es sesgar-simétrica, es decir, que la $A^T = -A$. Este es usado comúnmente en el contexto de la Mentira Grupos y Álgebras de Lie.

Como mínimo, usted debe tratar de probar que si $A^T = -A$, $e^A$ es ortogonal.

No estoy seguro de si hay cualquier otro tipo de matrices $A$ que $e^A$ es ortogonal.

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Una matriz de $A$ tal que $e^A$ es ortogonal sino $A\neq A^T$: $$ \pmatrix{0&1\\0&2\pi i} $$ o mejor aún $$ \pmatrix{0&-1\\ 4 \pi^2 & 0} $$