Prueba $\binom{2p+1}{p}\equiv2$ mod $p$ cuando $p$ es cualquier primo.

Question

Prueba $\binom{2p+1}{p}\equiv2$ mod $p$ cuando $p$ es cualquier primo.

Empecé intentando construir la congruencia de la siguiente manera:

Desde $(2p+1)!=(2p+1)(2p)(2p-1)!$ y $p|2p$ entonces $(2p+1)!\equiv0$ mod $p$ . Desde $p|p!$ entonces $2p!(p+1)!\equiv0$ mod $p$ . Por lo tanto, $(2p+1)!\equiv2p!(p+1)!$ mod $p$ .

Sin embargo, me encuentro con un problema aquí, porque desde $p!$ y $(p+1)!$ no son relativamente primos de $p$ , no puedo dividirlos hacia el lado izquierdo para obtener la congruencia que quiero.

También intenté escribir $\binom{2p+1}{p}$ y ver si puedo conseguir la cancelación, pero me encuentro con un problema a la hora de averiguar cómo conseguir que p! se divida en las partes restantes de $(2p+1)!$ después de dividir $(p+1)!$ .

¿Alguna sugerencia sobre lo que debería probar a continuación?

Answer 1

$$\binom{2p+1}{p} = \frac{(p+2)(p+3)\cdots(2p+1)}{1\cdot2\cdots p}$$

Separando los múltiplos de $p$ en el numerador y el denominador, es igual a $$\frac{2p}{p}\frac{(p+2)(p+3)\cdots(2p-1)(2p+1)}{1\cdot2\cdots(p-1)}$$

Y mod $p$ esto es solo $$2 \frac{2\cdot3\cdots(p-1)\cdot1}{1\cdot2\cdots(p-1)} =2$$

Answer 2

Pista: $$(u+v)^p\equiv u^p+v^p\pmod p$$ para cualquier $u,v$ . Así que examina $(1+x)^{2p+1}$ examinando $((1+x)^{2})^p(1+x)$ .

Answer 3

¿Qué tal una prueba combinatoria/teórica de grupos?

Podemos definir una acción de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ en un $2p+1$ permutando cíclicamente el primer $p$ elementos, permutando cíclicamente el segundo $p$ elementos y fijando el último punto. Explícitamente si sacamos $2p+1$ para que sea $\{1,2,\dots, 2p+1\}$ el generador $1 \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ envía $p$ a $1$ , $2p$ a $p+1$ , arregla $2p+1$ y envía cada dos $a$ a $a+1$ .

Esta acción induce una acción sobre $p$ subconjuntos de elementos de nuestro $2p+1$ conjunto de elementos. Esto divide nuestro conjunto de $p$ subconjuntos de elementos en órbitas, todas las cuales deben ser de tamaño $p$ o de tamaño $1$ .

Pero ahora por cómo construimos la acción está claro que los únicos subconjuntos fijos por esta acción son los primeros $p$ y el siguiente $p$ después de eso.

Por lo tanto, el número total de $p$ subconjuntos de elementos es $p\cdot \{\text{number of orbits of size p}\} +2$