Evalúe $\sum_{k=1}^nk\cdot k!$

Question

Descubrí que la suma $\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot k!$ es igual a $(n+1)!-1$ .

Pero quiero una prueba. ¿Podría alguien darme una, por favor? No te preocupes si utiliza matemáticas muy avanzadas, puedo comprobarlo en Internet :)

Answer 1

Que el $k^\text{th}$ término de la serie dada sea $T_k$ ,

$T_k=k \cdot k!=(k+1-1) \cdot k!=(k+1) \cdot k!-k!=(k+1)!-k!$

Ponga $k=1,T_1=2!-1!$

Ponga $k=2,T_2=3!-2!$

Ponga $k=3,T_3=4!-3!$

.

.

.

y así sucesivamente...

Ponga $k=n-1, T_{n-1}=n!-(n-1)!$

Ponga $k=n, T_n=(n+1)!-n!$

Tenga en cuenta que $T_1+T_2+T_3+\dots+T_n=(n+1)!-1$ ya que los términos alternativos de la RHS se anulan.

Espero que esto ayude.