Evalúe $\sum_{k=1}^nk\cdot k!$

Question

Descubrí que la suma $\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot k!$ es igual a $(n+1)!-1$ .

Pero quiero una prueba. ¿Podría alguien darme una, por favor? No te preocupes si utiliza matemáticas muy avanzadas, puedo comprobarlo en Internet :)

Answer 1

SUGERENCIA: $k(k!)=(k+1-1)(k!)=(k+1)!-k!$ . Ahora haz la suma y la mayoría de los términos se cancelarán.

Answer 2

$$\sum_{k=1}^n k\cdot k!=\sum_{k=1}^n (k+1-1)k!=\sum_{k=1}^n \left((k+1) k!- k!\right)=$$ $$=\sum_{k=1}^n ((k+1)!-k!)=\sum_{k=1}^n (k+1)!-\sum_{k=1}^n k!=$$ $$=\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)!+(n+1)!-\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)!=$$ $$=\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)!+(n+1)!-(0+1)!-\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)!=$$ $$=(n+1)!-1$$

Answer 3

Por telescopaje $$\sum_{k=1}^n k\times k!=\sum_{k=1}^n \left((k+1)\times k!- k!\right)=\sum_{k=1}^n ((k+1)!-k!)=(n+1)!-1$$

Answer 4

Puede que sea un poco exagerado, pero creo que merece la pena mostrarlo: usando que $$ k!=\int_0^\infty e^{-t}t^kdt\,, $$ tenemos $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n k\cdot k!&=\int_0^\infty e^{-t}\sum_{k=1}^n kt^k dt\\ &=\int_0^\infty e^{-t}\frac{d}{dt}\sum_{k=0}^n t^k dt\\ &=\int_0^\infty te^{-t}\frac{d}{dt}\frac{1-t^{n+1}}{1-t}dt \end{aligned}$$ e integrando por partes se obtiene $$ \sum_{k=1}^n k\cdot k! = \int_0^\infty e^{-t}(t^{n+1}-1)dt=(n+1)!-1\,. $$

Answer 5

Demostremos por inducción que $\sum\limits_{k=1}^{n}{k}\cdot{k!}=(n+1)!-1$ .

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En primer lugar, demuestre que esto es cierto para $n=1$ :

• $\sum\limits_{k=1}^{1}{k}\cdot{k!}=(1+1)!-1$

En segundo lugar, supongamos que esto es cierto para $n$ :

• $\sum\limits_{k=1}^{n}{k}\cdot{k!}=(n+1)!-1$

Tercero, demuestre que esto es cierto para $n+1$ :

• $\sum\limits_{k=1}^{n+1}{k}\cdot{k!}=$

• $\color{red}{\sum\limits_{k=1}^{n}{k}\cdot{k!}}+{(n+1)}\cdot{(n+1)!}=$

• $\color{red}{(n+1)!-1}+{(n+1)}\cdot{(n+1)!}=$

• $(n+1)!\cdot(n+2)-1=$

• $(n+2)!-1$

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Tenga en cuenta que el supuesto sólo se utiliza en la parte marcada en rojo.