En la "buena" de los números y de $m \times n$ real matrices

Question

Deje $m,n > 1$ ser números enteros impares. Diferentes números reales están escritos en las células de la $m \times n$ tabla ($m$ filas y $n$ columnas). El número se llama "buena" si

1) es el más grande en su fila (columna).

2) es el valor de la mediana en su columna (fila).

¿Cuál es el mayor número posible de "buenos números"?

Mi trabajo hasta el momento:

He resuelto el problema de la tabla de $3\times3$:

\begin{bmatrix} 1 & 7 & 9 \\ 2 & 6 & 4 \\ 5 & 3 & 8 \end{bmatrix}

$5,6,7,8 -$ "buenos números".

Si $m>3$ o $n>3 -$ necesito ayuda aquí.

Answer 1

No tengo una respuesta definitiva, pero es posible establecer un límite superior de lo que es posible.

Sin pérdida de generalidad, podemos decir $m\ge n$. Entonces podemos imponer algunos límites:

• Ya que hay sólo $n$ mediana y $n$ máximo de los valores en las columnas, se puede tener más de $2n$ buenos números.
• Uno de los máximos números es también el máximo para toda la tabla. Este puede ser un buen número para el límite se reduce a $2n-1$

Para grandes valores de $m,n$ habrá algún impacto de requisito para cualquier mediana de tener una cierta recuento de los grandes números, que por lo tanto no puede ser medianas. Cómo los grandes valores están dispuestos en la tabla variarán el efecto exacto, pero mi conjetura es que estamos limitados a $2n-\frac{n-1}{2}$ buenos números (teniendo en cuenta que $n$ es impar).

La otra cosa a tener en cuenta, es que predice una cota superior de a$5$$m=n=3$, lo cual es correcto, pero no muy apretado para el límite real de $4$, por lo que puede haber alguna posibilidad de mejora.