Dada la siguiente figura, fueron el triángulo MNP es equilátero y el pentágono ABCDE es regular, encontrar el ángulo de $\angle$CMD.
Antecedentes: soy un 9 de grado, que tiene experiencia en concursos de matemáticas. Esta es la pregunta 4 (nivel 2) a partir de la tercera etapa de la edición 2012 de brasil Matemáticas Olímpico (OBM). La respuesta fue que no se dio.
Mi intento:
(1)El triángulo MNP es equilátero, entonces: $$\angle MNR=\angle NRM=\angle RMN=60°$$ $$\overline {MN}=\overline {NR}=\overline {RM}$$
(2)El pentágono ABCDE es regular, así: $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E=a$$ $$a=\frac {180°(n-2)}{n}$$ $$n=5$$ $$a=\frac{180°(3)}{5}=108°$$
(3)La figura es simétrica con respecto al eje de simetría definido por M y el punto medio de $\overline {NP}$, así: $$\triangle BCN=\triangle EDR$$ $$\overline {MB}=\overline {MD}$$ $$\overline {MC}=\overline {MD}$$
El uso de (1), (2), (3) y el conocimiento de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°, deduje que: $$\angle NBC=\angle DER=48°$$ $$\angle BCN=\angle EDR=72°$$ $$\angle MBA=\angle MEA=24°$$
Traté de demostrar que la $\overline {CD}$ es congruente a $\overline {ND}$$\overline {DR}$, pero descubrió que no podía ser cierto, porque la $\triangle BNC$ $\triangle EDR$ son escaleno (los ángulos son diferentes), y por el lado de $\overline {BN}$ $\triangle BNC$ y el lado de la $\overline {ER}$ $\triangle EDR$ ya son congruentes a $\overline{CD}$, y porque los triángulos escalenos, los otros lados no puede ser igual a $\overline {CD}$.
Entonces me quedé atrapado. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuestas
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Tenga en cuenta que $BM=BE=BD$ $B$ es el circuncentro de $\triangle DEM$. De ello se sigue que $$\angle EDM = \frac 12 \angle EBM = \frac 12 \cdot 60^\circ = 30^\circ.$$ Ahora, $$\angle MDC = \angle EDC - \angle EDM = 108^\circ - 30^\circ = 78^\circ.$$ Por simetría $\angle DCM = 78^\circ$. Por lo tanto $$\angle CMD = 180^\circ - \angle MDC - \angle DCM = 24^\circ.$$
Sugerencia: sin pérdida de generalidad, podemos establecer $MN=1$, entonces la altitud $MK$$\triangle{NMP}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Esta altura también será la altitud de la $\triangle{CMD}$ y la bisectriz del ángulo en cuestión. Ahora usando la ley de senos y $\triangle{NBC}$, podemos obtener que el $$CD=\frac{1}{1+4\frac{sin \: 48°}{\sqrt{3}}}$$ Ahora que sabemos que la base y la altura en el $\triangle{CMD}$, no es difícil encontrar el ángulo requerido.
