Diffeq pregunta: método de los coeficientes indeterminados

Question

Tengo una pregunta aquí de Ecuaciones Diferenciales. Estamos aprendiendo a resolver de segundo orden heterogéneas ecuaciones usando el método de coeficientes indeterminados. La ecuación de la mano es $$y''+4y=3\sin(2t)$$ Entiendo que la solución de la correspondiente ecuación homogénea es $$y_c(t)=c_1\cos(2t)+c_2\sin(2t)$$ Y entiendo que para resolver la ecuación mediante este método, tengo que encontrar una ecuación con "coeficientes indeterminados" que yo, a continuación, añadir a $y_c(t)$. Pero ¿en qué forma esta parte de la ecuación de tomar?

p.s. La respuesta en la parte de atrás del libro es $y=2\cos2t-(1/8)\sin2t-(3/4)t\cos2t$. Las condiciones iniciales se $y(0)=2, y'(0)=-1$, pero no necesito ayuda con condiciones iniciales.

Answer 1

Puesto que usted no quiere que ninguna de las soluciones que son linealmente independientes, la solución homogénea, supongo que una solución de la forma $$y_p(t)=Atcos(2t)+Btsin(2t)$$ determinar los coeficientes, y por la linealidad del operador diferencial, de forma que la solución de la inhomogenous problema como $$y(t)=y_c(t)+y_p(t).$$

Answer 2

El problema es $(D^2+4)[y] = 3 \sin (2t)$. Operar por $D^2+4$ una vez más para encontrar $(D^2+4)^2[y] = (D^2+4)(3\sin(2t)) =0$. A continuación, $$ y = c_1 \cos( 2t)+c_2\sin( 2t) + c_3t\cos (2t) + c_4t \sin (2t) $$ es la solución general. Identificar los dos primeros términos como la homogeneidad de la solución a la ecuación diferencial. Por lo tanto la forma: $$ y_p = t(A \cos (2t)+ \sin (2t)) $$ a través de la $c_3$ $c_4$ términos. Siguiente, $$ (D^2+4)[y_p] = 3 \sin (2t)$$ será el rendimiento de las ecuaciones de corrección $A$, $B$. Finalmente, se aplican las condiciones iniciales para corregir $c_1,c_2$.