¿Cuál es la inyectiva casco de $\mathbb{C}(x,y)/\mathbb{C}[x,y]$ ?

Question

¿Cuál es la inyectiva casco de $\mathbb{C}(x,y)/\mathbb{C}[x,y]$ $\mathbb{C}[x,y]$- módulo? Es isomorfo a cualquier familiar módulo?

Answer 1

Permítanme tratar y dar una respuesta general - aunque esto puede no ser muy útil si usted está buscando para una descripción explícita de la envolvente inyectiva.

Si $R$ es un Noetherian de dominio en el campo de fracciones de $Q$, hay una secuencia exacta

$$0 \to R \to Q \to Q/R \to 0$$

Ahora $E(R) \cong Q$ ($Q$ es torsionfree, divisible, y una extensión esenciales de $R$). Esto implica que $E(Q/R)$ es el segundo término en el mínimo inyectiva resolución,

$$0 \to R \to I^0 = Q \to I^1 = E(Q/R) \to I^2 \to \ldots$$

Ahora el $i^\text{th}$ módulo de $I^i$ es una suma directa de indecomposable injectives $E(R/p)$, en un primer $p \in \operatorname{Spec}R$ aparece con multiplicidad $\mu_i(p, R)$, $i^\text{th}$ Bajo número de $R$ con respecto al $p$. Si $R$ es regular (que $\mathbb{C}[x,y]$ es), por lo tanto Gorenstein, a continuación, $\mu_i(p, R) = \delta_{i, \text{ht} p}$ (delta de Kronecker). Por lo tanto,

$$E(Q/R) = I^1 = \bigoplus_{\text{ht}p=1} E(R/p)$$

La comprensión de este módulo sería así involucrar a conocer toda la altura $1$ de los números primos en $\mathbb{C}[x,y]$, es decir, todos los polinomios irreducibles en $2$ variables $\mathbb{C}$, que no es una fácil tarea.