Diffeomorphism grupo y cubriendo los espacios

Question

Deje $M$ ser suave, un colector y Diff($M$) de su diffeomorphism grupo. Deje $N\to M$ ser un número finito de la cubierta (por ejemplo, un orientable de doble cubierta de la si $M$ es no orientable). Entonces, ¿cuál es la relación entre Diff($N$) y diferencial($M$?

Es cierto que, por ejemplo, Diff($N$) inyecta en Diff($M$)? Si la cubierta es canónica en algún sentido (por ejemplo, universal), es cierto que la acción de cualquier grupo en $M$ ascensores $N$?

Answer 1

Grupo de acciones en $M$ no levante a$N$, incluso para uno de los más fundamentales de los ejemplos, a saber, el universal cubriendo mapa de $f : \mathbb{R} \mapsto S^1$ dado por la fórmula $$f(t)=e^{2\pi \, t \, i} $$ Por ejemplo, el grupo de rotaciones de $S^1$ no levanta a $\text{Diff}(\mathbb{R})$. Esto es cierto a pesar de que cada individuo rotación hace ascensor, la dificultad de que los ascensores de los elementos no son exclusivos, y no puede ser elegido con el fin de preservar las operaciones del grupo.

Para ser más específicos, dejando $\rho : S^1 \to S^1$ ser la rotación a través de ángulo de $\pi$, se deduce que el $\rho^2 = \rho \circ \rho=\text{Id}$. Pero los ascensores de $\rho$ son precisamente las traducciones de $\mathbb{R}$ de la forma $r(t) = t + (2k+1)\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, y así $$r^2(t) = r \circ r(t) = t + (4k+2)\pi $$ que no es la identidad, no importa lo que el valor de $k$ es.

Answer 2

Sólo para estar un poco contrario, el grupo de acciones en el sentido de ascensor. Por supuesto, Lee es justo que si $G$ actúa en $M$ nontrivally, no hay ninguna razón para suponer que $G$ actúa en $N$ no trivial (o viceversa). Pero le han permitido reemplazar$M$$N$, por lo que es justo que te permitirá $G$ a ser reemplazado así.

Por facilidad, voy a suponer $N\rightarrow M$ es el universal que cubre. Supongamos que un grupo topológico $G$ actúa en $M$.

Este se define por un tipo de mapa de $G\times M\rightarrow M$ el cumplimiento de determinadas condiciones. Estamos buscando un mapa de $H\times N\rightarrow N$ donde $H$ es un grupo topológico que podría, en algún sentido, ser llamado un ascensor de la $G$ acción en $M$. Para ese fin, vamos a $H$ denotar la universalización de la cobertura de $G$.

Entonces tenemos un canónica mapa de $H\times N\rightarrow G\times M\rightarrow M$. Desde $H$ $N$ simplemente conectado, el levantamiento de los criterios para revestimientos de garantías nos puede levantar el mapa. Si fijamos $n\in N$, sabemos que queremos $(e,n)$ (donde $e\in H$ es la identidad) para asignar a $n$. Si queremos especificar esto, entonces obtenemos un único ascensor $H\times N\rightarrow N$.

Ahora se puede comprobar que este ascensor no en el hecho de definir un grupo de acción de $H$$N$. Además, si $\pi:H\rightarrow G$ $\rho:N\rightarrow M$ el universal que cubre los mapas, entonces para cualquier $h\in H$, $n\in N$, uno puede comprobar que $\rho(h\ast n) = \pi(h)\ast\rho(n)$, por lo que las acciones son compatibles en este sentido.