Cómo simpify $\cos x - \sin x$

Question

¿Cómo hace uno para simplificar

$$\cos x - \sin x$$

Traté de multiplicar por $\cos x + \sin x$, pero que sólo se me $$\cos x - \sin x = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}$$, que es peor.

Sin embargo, wolframalpha me da $\cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)$. ¿Cómo se obtiene este algebraicamente?

Answer 1

Un notable de la identidad es que, para cualquier $\alpha$$\beta$, podemos encontrar una $\theta$ $c$ tal forma que: $$\alpha\sin(x)+\beta\cos(x)=c\sin(x+\theta).$$ Para mostrar esto, podemos expandir el lado derecho por el ángulo de la suma de identidad para sinusoidal: $$\alpha\sin(x)+\beta\cos(x)=c\sin(x)\cos(\theta)+c\cos(x)\sin(\theta)$$ y si tenemos el grupo de los coeficientes de $\sin$ $\cos$ juntos, podemos conseguir $$\alpha = c\cos(\theta)$$ $$\beta = c\sin(\theta)$$ que tiene una muy agradable intuitiva interpretación: el punto de $(\alpha,\beta)$ es igual a $(c,\theta)$ en coordenadas polares. En particular, podemos encontrar $c$ $\theta$ por algebraica significa. En primer lugar, la plaza de los dos ecuaciones anteriores y agregar los resultados. Esto le da $$\alpha^2+\beta^2=c^2(\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2)=c^2$$ por lo $c=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$. Entonces, si tomamos la relación de las dos ecuaciones, obtenemos $$\frac{\beta}{\alpha}=\tan(\theta)$$ $$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$$ (aunque tenemos que tener cuidado ya que $\tan$ es periódica en $\pi$ - tenemos que asegurarnos de que no llegue el mal inversa de la tangente, que es por lo que incluyen la interpretación de que $\theta$ es el ángulo de a $(\alpha,\beta)$ de la $x$-eje).

Poner las cosas de nuevo juntos, esto da $$\alpha\sin(x)+\beta\cos(x)=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\sin\left(x+\tan^{-1}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)\right)$$ y de conectar $\alpha=1$ $\beta=-1$ da la identidad.

Answer 2

Es la magia de la $$\sin\left(\frac\pi4\right)=\cos\left(\frac\pi4\right)=\frac{1}{\sqrt2}$$ $$\cos x - \sin x=\sqrt2\left[\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt2} \right]=\sqrt2\left[\frac{1}{\sqrt2}\cos x - \frac{1}{\sqrt2}\sin x\right]$$

Ahora uso

$$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$ with using $b=x$ and $=\dfrac\pi4$

Answer 3

$$ s = \cos x - \sin x \\ s^2 = \cos^2 x - 2 \cos x \sin x + \sin^2 x = 1 - \sen 2x \\ = 1 - \cos (\frac{\pi}2 -2 x)\\ = 1 - \left(1 - 2 \sin^2(\frac{\pi}4 - x)\right)\\ =2 \sin^2(\frac{\pi}4 - x) $$ así $$ s = \pm \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}4 - x) $$ y evaluar en $x=0$ muestra que el signo positivo debe ser tomado

Answer 4

La razón por la que parece que es difícil para simplificar esto es porque ya está en posiblemente la forma más simple.

cosx-el pecado es justo lo que se

si esto fue cosx-tanx se podría hacer algo como esto:

cosx- ((sinx)/(cosx))

(((cosx)^2)/(cosx))-((sinx)/(cosx))

(((cosx)^2)-sinx)/(cosx)

pero con lo que usted tiene, usted no puede hacer algo como esto.