Mostrando normalizador de Galois grupo

Question

Deje $E/F$ ser una extensión de Galois, y deje $B$ ser un campo intermedio entre el$E$$F$. Vamos $H$ ser el subgrupo de $Gal(E/F)$ que se asigna a $B$ dentro de sí mismo (pero no necesariamente fix $B$). Demostrar que $H$ es el normalizador de la $Gal(E/B)$$Gal(E/F)$.

Me acerqué a esta mostrando su inclusión en dos direcciones. Me las he arreglado para mostrar que $H$ es un subgrupo de la normalizador de la $Gal(E/B)$ pero no estoy seguro de cómo mostrar la otra dirección. Creo que sería necesario mostrar que un elemento de la normalizador de mapas de $F$ a $F$, pero no saben cómo hacerlo. Cualquier sugerencia es muy apreciado! (Así que me gustaría mostrar que la imagen de F en virtud de un elemento de la normalizador es un subconjunto de F)

Answer 1

Suponiendo que las extensiones (y, por tanto, también los grupos de Galois) son todos finitos.

Deje que nos indican los grupos de Galois por $G=\operatorname{Gal}(E/F)$$K=\operatorname{Gal}(E/B)$. Así que todos los automorfismos $\tau\in K$ fix $B$ elementwise.

1. Mostrar que si $\sigma\in G$, entonces todos los automorfismos en $\sigma K\sigma^{-1}$ solucionar el campo de $\sigma(B)$ elementwise.
2. A la conclusión de que, dado $\sigma\in G$, el Galois correspondencia enlaces el subgrupo $\sigma K\sigma^{-1}$ con el intermedio de campo $\sigma(B)$. En otras palabras, $\operatorname{Gal}(E/\sigma(B))=\sigma K\sigma^{-1}$, y, en consecuencia, también el campo fijo de $\sigma K\sigma^{-1}$ es igual a $\sigma(B).$
3. A la conclusión de que $\sigma(B)=B$, iff $\sigma$ normaliza $K$.