Estoy confundido acerca de algo en Ejercicio 4.1 del Capítulo 3 de Hartshorne. Nos pide probar : Vamos a $f : X \rightarrow Y$ ser afín de morfismos de Noetherian, separados de los esquemas. Demostrar que para cualquier cuasi coherente gavilla $\mathcal{F}$$X$, no son naturales isomorphisms $$H^i(X, \mathcal{F}) \cong H^i(Y, f_* \mathcal{F}) \ \ \forall i \geq 0$$
Me parece que tienen una prueba sin asumir que $f$ es afín o que los sistemas están separados (pero necesito que $X$ es Noetherian). Así que sé que mi prueba debe ser falso, pero no puedo averiguar por qué.
Prueba : Ejercicio 3.6 del Capítulo 3 de Hartshorne dice que nosotros podemos calcular cohomology de un cuasi coherente gavilla como los derivados de functors de $\Gamma(X, \cdot)$, considerada como un functor de la categoría de cuasi-coherente con poleas para abelian grupos. Así que vamos a $\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{I}^{\cdot}$ ser un inyectiva resolución de $\mathcal{F}$ en la categoría de cuasi coherente de las poleas. A continuación, $f_* \mathcal{F} \rightarrow f_* \mathcal{I^{\cdot}}$ es un flasque resolución de cuasi coherente gavillas de $f_* \mathcal{F}$ (pushforward de cuasi coherente es cuasi coherente desde $X$ es Noetherian). Por otra parte, claramente tenemos $\Gamma(X, \mathcal{I}^{\cdot}) = \Gamma(Y, f_* \mathcal{I}^{\cdot})$. Por lo tanto, obtenemos el mismo cohomology grupos (este es el mismo método de la prueba del Lema 2.10 del Capítulo 3, de Hartshorne).
¿Qué hice mal?
Sinceramente,
David
