Dar números reales $a,b$ tal que $0<a<b$$m=\dfrac{a+b}{2}<\dfrac{\pi}{4}$, Evaluar $$\lim_{p\to 0^{+}}\left(\int_{a}^{m-p}f(x)dx+\int_{m+p}^{b}f(x)dx\right)$$ donde $$f(x)=\dfrac{(1+\cos{(2m-2x)})\cos{(a-x)}\cos{(b-x)}}{(1-\sin{(a-x)})(1-\sin{(b-x)})\sin{(2m-2x)}}$$
Ahora creo que siga idea es útil
Idea:
desde $$\dfrac{1+\cos{(2m-2x)}}{\sin{(2m-2x)}}=\tan{(m-x)}$$ y $$\dfrac{\cos{(a-x)}}{1-\sin{(a-x)}}=\tan{\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{a-x}{2}\right)}$$ $$\dfrac{\cos{(b-x)}}{1-\sin{(b-x)}}=\tan{\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{b-x}{2}\right)}$$. así $$f(x)=\tan{(m-x)}\cdot \tan{\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{a-x}{2}\right)}\cdot \tan{\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{b-x}{2}\right)}$$ desde $$m=\dfrac{a+b}{2}$$ así también han $$\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac {- x}{2}\right)+\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{b-x}{2}\right) =\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{a+b}{2}-x=\dfrac{\pi}{2}+(m-x)$$
entonces caí yo le silve,Pero no se puede tratar esta integral.
y este problema es muy interesante
Este problema es de La facultad de Matemáticas Joutnoal Vol.44.No.3 de Mayo de 2013 problema,y no puedo tener a este diario.
puede ver joutnoal
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que su primera identidad es incorrecta: $$\frac{1+\cos(2m-2x)}{\sin(2m-2x)}=\tan\left(x-m+\frac{\pi}{2}\right)$$ Por lo que su función se simplifica a: $$ f(x)=\tan\left(x-m+\frac{\pi}{2}\right)\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a-x}{2}\right)\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b-x}{2}\right)$$
Usted puede utilizar el triple de tangente a la identidad: si $x+y+z=\pi$,$\tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z)$. Así: $$ f(x)=\tan\left(x-m+\frac{\pi}{2}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{a-x}{2}\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b-x}{2}\right)$$ Ahora los tres términos pueden ser integrados por separado.
Edit: el cálculo más no es complicado conceptualmente, pero sigue siendo una tarea molesta. Si yo no cometer errores, el resultado se simplifica a:
$$\log\left|\frac{\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{b}{2}\right)}\right| + 2\log\left|\frac{\sin\left(\frac{a-b}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{b-a}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}\right|$$ que además se simplifica a $$ 2\tan\left(\frac{a-b}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$
Yo no revise cuidadosamente este, por lo que es probable que en algún lugar se me olvidó un signo menos o no tiene cuidado con la toma de los valores absolutos.
