Un Cuadrado Mágico de orden $n$ es un arreglo de $n^2$ números, generalmente de distintos números enteros en un cuadrado, de tal manera que el $n$ números en todas las filas y todas las columnas, y ambas diagonales suma a la misma constante.
Cómo probar que una normal $3\times 3$ cuadrado mágico debe tener $5$ en su celda del centro?
He tratado de tomar $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ y la resolución de las ecuaciones para calcular el $e$, pero hay tantas ecuaciones que yo no podia resolver.
El común de la suma debe ser $15$, debido a que la suma de los números de$1$$9$$45$. ¿Cómo podemos escribir $15$ como suma de tres números entre el $1$ $9$ (incluido)?
\begin{gather} 1+5+9 \\ 1+6+8 \\ 2+4+9 \\ 2+5+8 \\ 2+6+7 \\ 3+5+7 \\ 3+4+8 \\ 4+5+6 \end{reunir}
Acabamos de ocho maneras y podemos tratar de acomodar en la plaza. El lugar central que pertenece a una fila, una columna y las dos diagonales, de modo que el número que ponemos en ella debe aparecer cuatro veces en las cantidades antes mencionadas: el único es $5$.
Del mismo modo, en las cuatro esquinas tenemos que colocar los números que aparecen tres veces, que es: $2$, $4$, $6$ y $8$.
Esto también muestra que, básicamente, sólo una $3\times3$ cuadrado mágico es posible, hasta a las simetrías del cuadrado.
Cómo componer el cuadrado mágico? Primera nota de cuántas filas, columnas y diagonales de cada celda pertenece a:
Ahora sabemos que $5$ debe estar en el centro; elegir arbitrariamente un número par, decir $2$ y coloque en una esquina. Podría ir en cualquier esquina, vamos a elegir la parte superior de la izquierda; en la otra esquina tenemos a escribir $8$:
Ahora $4$ debe ir en uno de los otros ángulos y $6$ en el de enfrente:
En este punto, de las demás celdas que se pueden rellenar de una manera única:
Tenemos cuatro opciones para la colocación de $2$ y, para cualquier elección que podemos elegir dos lugares para $4$. En total, tenemos ocho cuadrados mágicos, pero solo si tenemos en cuenta que dos de ellos idénticos después de aplicar una simetría de la plaza (hay ocho de ellos).
Si restamos $5$ a cada celda, podemos ver mejor la simetría:
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